НОФ 2026, II кръг (областен), 12. клас — Задача 2. Помпа

• а) $n_0 = \frac{p_0 V_\mathrm{г}}{RT_0} = 0{,}08\ \mathrm{mol},\qquad n_1 = \frac{p_1 V_\mathrm{г}}{RT_0} = 0{,}48\ \mathrm{mol}$

  Допустимо отклонение около 0,01 mol за всяка от двете стойности.

• б) $N = \frac{(p_1 - p_0)V_\mathrm{г}}{p_0 V_\mathrm{п}} = 20$

  Броят напомпвания е цяло число и следва от $n_0 + Nn_\mathrm{п} \le n_1$ при знак за равенство.

• в) $Q = p_1 V_\mathrm{г}\ln\frac{p_0}{p_1} \approx -2150\ \mathrm{J}$

  Отрицателният знак означава, че въздухът отдава топлина на околната атмосфера.

• г) $n' = \frac{p_1 V_\mathrm{г}}{RT_1} = n_1\left(\frac{p_0}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \approx 0{,}288\ \mathrm{mol},\qquad N' \le \frac{n' - n_0}{n_\mathrm{п}} = 10{,}4 \Rightarrow N' = 10$

  Междинен резултат: $T_1 = T_0(p_1/p_0)^{(\gamma-1)/\gamma} \approx 1{,}67\,T_0 \approx 500$ K. Допустимо отклонение около 0,005 mol за $n'$; $N'$ е точно 10.

а) От уравнението на Клапейрон-Менделеев:

(1) $pV = nRT_0$ (1.0 т)

следва, че първоначално в гумата се съдържат:

(2) $n_0 = \dfrac{p_0 V_\mathrm{г}}{RT_0} = \dfrac{1{,}0\cdot 10^5\ \mathrm{Pa}\cdot 2{,}0\cdot 10^{-3}\ \mathrm{m^3}}{8.31\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol^{-1}}\cdot\mathrm{K^{-1}}\cdot 300\ \mathrm{K}} = 0{,}08\ \mathrm{mol}$ (0.5 т)

мола въздух, а след като приключи помпането:

(3) $n_1 = \dfrac{p_1 V_\mathrm{г}}{RT_0} = 0{,}48\ \mathrm{mol}$ (0.5 т)

б) При всяко движение на буталото нагоре в помпата постъпва еднакво количество въздух при нормално атмосферно налягане:

(4) $n_\mathrm{п} = \dfrac{p_0 V_\mathrm{п}}{RT_0}\ (= 0{,}02\ \mathrm{mol}),$ (0.5 т)

което при движение на буталото надолу влиза в гумата. За $N$ пълни напомпвания е в сила:

(5) $n_0 + Nn_\mathrm{п} \le n_1,$ (1.0 т)

В случая, броят пълни напомпвания съответства на знака за равенство:

(6) $N = \dfrac{(p_1 - p_0)V_\mathrm{г}}{p_0 V_\mathrm{п}} = \dfrac{5\ \mathrm{atm}\cdot 2{,}0\ \mathrm{l}}{1\ \mathrm{atm}\cdot 0{,}5\ \mathrm{l}} = 20$ (1.0 т)

Алтернативно, ученикът може да получи: $N = (n_1 - n_0)/n_\mathrm{п}$ и да използва предварително пресметнатата числената стойност $n_\mathrm{п} = 0{,}02\ \mathrm{mol}$ от уравнение (4).

в) Процесът на помпане е изотермен, което означава, че обмененото количество топлина е:

(7) $Q = n_1 RT_0\ln\dfrac{V_\mathrm{кр}}{V_\mathrm{нач}}$

където $V_\mathrm{нач}$ е обемът, който $n_1$ мола въздух са заемали преди помпането при нормално атмосферно налягане $p_0$, а $V_\mathrm{кр} = V_\mathrm{г}$ е крайният обем при налягане $p_1$. От закона на Бойл-Мариот за изотермения процес:

(8) $\dfrac{V_\mathrm{кр}}{V_\mathrm{нач}} = \dfrac{p_0}{p_1}$ (1.0 т)

и като използваме израза (3) за броя молове, получаваме:

(9) $Q = p_1 V_\mathrm{г}\ln\dfrac{p_0}{p_1} \approx -2150\ \mathrm{J}$ (1.0 т)

г) В случая помпането е адиабатно свиване, при което температурата на въздуха се повишава. Нека $T_1$ e крайната температура на въздуха в гумата при налягане $p_1$. От уравнението $pV^\gamma = \mathrm{const}$ (0.5 т) за адиабатен процес следва:

(10) $T^\gamma/p^{\gamma-1} = \mathrm{const}$ (0.5 т)

Оттук получаваме:

(11) $T_1 = T_0\left(\dfrac{p_1}{p_0}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \approx 1{,}67 T_0 \approx 500\ \mathrm{K}$ (1.0 т)

Точката се дава или за буквения израз, или за някой от числените отговори. От уравнението на Клапейрон-Менделеев следва:

(12) $n' = \dfrac{p_1 V_\mathrm{г}}{RT_1} = n_1\left(\dfrac{p_0}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \approx 0{,}6 n_1 = 0{,}288\ \mathrm{mol}$ (0.5 т)

Точките се дават или за някой от буквените изрази, или за някой от числените отговори. При всяко движение на буталото нагоре в помпата влиза въздух с нормално атмосферно налягане $p_0$ и с температурата $T_0$ на външния въздух. Затова с всяко пълно помпане в помпата, а после и в гумата, постъпва същия брой $n_\mathrm{п}$ мола въздух, както в първия случай. Като използваме уравнение (5) и заменим крайния брой молове с $n'$, получаваме:

(13) $N' \le \dfrac{n' - n_0}{n_\mathrm{п}} = 10{,}4$ (0.5 т)

Следователно трябва да бъдат направени $N' = 10$ пълни напомпвания. (0.5 т)