НОФ 2026, II кръг (областен), 12. клас — Задача 1. Ускоряващо се трупче

• а) $v_1 = \sqrt{\frac{2m_2 g\left(\sqrt{h^2 + x^2} - h\right)}{m_1}},\qquad v_2 = 0$

  Теглилката достига минималната си възможна височина точно когато трупчето стига ръба на масата, затова там $v_2 = 0$ и цялата работа на силата на тежестта е кинетична енергия на трупчето.

• б) $a_1 = \frac{m_2 g\cos\alpha}{m_1 + m_2\cos^2\alpha} = \frac{m_2 g x\sqrt{x^2 + h^2}}{(m_1 + m_2)x^2 + m_1 h^2},\qquad a_2 = \frac{m_2 g\cos^2\alpha}{m_1 + m_2\cos^2\alpha} = \frac{m_2 g x^2}{(m_1 + m_2)x^2 + m_1 h^2}$

  $\cos\alpha = x/\sqrt{x^2+h^2}$.

• в) $t = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m_1 h}{m_2 g}} \approx 1{,}12\ \mathrm{s}$

  При $x \ll h$ движението е четвърт период от хармонично трептене с еквивалентен коефициент на еластичност $k = m_2 g/h$.

а) Дължината на частта на нишката между трупчето и макарата в началния момент е:

(1) $l_0 = \sqrt{h^2 + x^2},$

а след като трупчето достигне масата:

(2) $l = h.$

Следователно за това време теглилката се спуска надолу на разстояние:

(3) $s = l_0 - l = \sqrt{h^2 + x^2} - h,$ (0.5 т)

а силата на тежестта извършва работа:

(4) $A = m_2 g s = m_2 g\left(\sqrt{h^2 + x^2} - h\right).$ (0.5 т)

Тъй като началната кинетична енергия на телата е нула и няма триене, кинетичната енергия в крайния момент е равна на работата на силата на тежестта:

(5) $\dfrac{m_1 v_1^2}{2} + \dfrac{m_2 v_2^2}{2} = A.$ (1.0 т)

В момента, когато трупчето достига ръба на масата, теглилката достига минимална възможна височина, т.е. в този момент:

(6) $v_2 = 0.$ (1.0 т)

Като използваме израза (4) за работата и условието (6), от уравнение (5) намираме:

(7) $v_1 = \sqrt{\dfrac{2m_2 g\left(\sqrt{h^2 + x^2} - h\right)}{m_1}}.$ (1.0 т)

Като алтернативно решение ученикът може да посочи, че пълната механична енергия на системата се запазва. Тогава вместо уравнение (4) трябва да бъде получен израз за промяната на потенциалната енергия на теглилката $\Delta E_\mathrm{p} = -m_2 g\left(\sqrt{h^2 + x^2} - h\right)$, а вместо уравнение (5) – да бъде записан законът за запазване на енергията.

б) На фигурата вляво са дадени силите, които оказват влияние върху движението на телата от системата.

Трупчето се ускорява под действие единствено на хоризонталната компонента на силата $\vec{T}$ на опън на нишката:

(8) $m_1 a_1 = T\cos\alpha,$ (0.5 т)

където $\alpha$ е ъгълът, който нишката сключва с хоризонта. На теглилката действа сила на тежестта и силата T на опън, насочена вертикално нагоре:

(9) $m_2 a_2 = m_2 g - T.$ (0.5 т)

За малък интервал време $\Delta t$, през който ъгълът между нишката и хоризонта на практика не се изменя, можем да приемем, че движението на двете тела е равноускорително. Понеже телата започват да се движат с нулева начална скорост, те изминават път съответно:

(10) $s_1 = \dfrac{a_1\Delta t^2}{2}$ и (0.25 т)

(11) $s_2 = \dfrac{a_2\Delta t^2}{2}$ (0.25 т)

Пътят $s_2$ на теглилката обаче е равен на скъсяването на участъка от нишката, на който е завързано трупчето. От чертежа вдясно е ясно, че за много малки премествания:

(12) $s_2 = s_1\cos\alpha,$ (0.5 т)

защото в в крайния момент нишката сключва приблизително същия ъгъл $\alpha$ с масата, както в началния момент. Оттук следва, че:

(13) $a_2 = a_1\cos\alpha,$

което трябва да се докаже. Точките за уравнения (10)–(12) се дават и ако ученикът обоснове, че скоростите на телата удовлетворяват равенството $v_2 = v_1\cos\alpha$, след което използва, че $v_1 = a_1\Delta t$ и $v_2 = a_2\Delta t$, за да получи връзката (13) между двете ускорения.

Уравненията (8), (9) и (13) образуват система с три неизвестни, съответно $a_1, a_2, T$. Като вземем предвид, че:

(14) $\cos\alpha = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + h^2}}$

намираме:

(15) $a_1 = \dfrac{m_2 g\cos\alpha}{m_1 + m_2\cos^2\alpha} = \dfrac{m_2 g x\sqrt{x^2 + h^2}}{(m_1 + m_2)x^2 + m_1 h^2}$ (1.0 т)

(16) $a_2 = \dfrac{m_2 g\cos^2\alpha}{m_1 + m_2\cos^2\alpha} = \dfrac{m_2 g x^2}{(m_1 + m_2)x^2 + m_1 h^2}$ (1.0 т)

Ако дадено ускорение е изразено правилно посредством ъгъла $\alpha$ или друг подходящ ъгъл, но не е представено като явен израз на $x$ и $h$, се отнемат 0.5 точки от оценката за съответния отговор. Ако съотношението (13) е използвано наготово, без доказателство, точките за уравнения (10)–(12) не се дават.

в) Понеже в случая $x^2/h^2 = 10^{-2}$, можем да пренебрегнем $x^2$ в сравнение с $h^2$ в изразите за ускоренията. Тогава за ускорението на трупчето получаваме:

(17) $a_1 \approx \dfrac{m_2 g x}{m_1 h}$ (0.5 т)

Това означава, че при малко начално отклонение на трупчето от вертикалата, му действа „връщаща” сила към ръба на масата, която се подчинява на закона на Хук:

(18) $F = m_1 a_1 \approx \dfrac{m_2 g}{h}x$

с еквивалентен коефициент на еластичност:

(19) $k = \dfrac{m_2 g}{h}.$

Следователно движението на трупчето от началното му положение до ръба на масата е част от хармонично трептене с период:

(20) $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m_1}{k}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m_1 h}{m_2 g}}$ (0.5 т)

Точките за уравнения (17) и (20) се дават и за решение, което използва закона за запазване на енергията, за да се обоснове, че движението е част от хармонично трептене. За целта вместо уравнение (17) ученикът трябва да получи, че потенциалната енергия на системата в началното положение е приблизително квадратна функция $E_p \approx 1/2\,m_2 g x^2/h$ на отместването, да въведе еквивалентен коефициент на еластичност (19) и да стигне до израза (20).

Тъй като началната скорост е нула, движението на трупчето съответства на преместване от положение с максимално отклонение до равновесното му положение, т.е. отнема четвърт от периода на трептенето:

(21) $t = \dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{m_1 h}{m_2 g}} \approx 1{,}12\ \mathrm{s}$ (1.0 т)

(0.5 точки за буквен израз и 0.5 точки за числен отговор)