Съдържание

НОФ 2026, II кръг (областен), 7. клас — Задача 1. Двама спортисти по периметъра на игрището

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2026

Олимпиада по физика 2026, областен кръг, тема за VII клас (първа състезателна група) · 15 февруари 2026 г. · 10 т.

Условие

Двама спортисти, условно ще ги наречем № 3 и № 9, ходят по крайните очертания на игрище за мини-футбол – правоъгълник $ABCD$ [^1] с дължина $AB = 30\ \mathrm{m}$ и ширина $BC = 20\ \mathrm{m}$ . Спортистите тръгват едновременно, като № 3 тръгва от т. $A$ и обикаля игрището в посока обратна на часовниковата стрелка. № 9 тръгва от т. $D$ и обикаля по посока на часовниковата стрелка. Двамата се движат с постоянна скорост, без да спират и без да губят време при промяна на посоката си, когато достигнат някои от ъглите на игрището. Когато двамата се срещат № 9 е изминал разстояние $d = 16\ \mathrm{m}$ повече от № 3. След като се разминават № 3 изминава оставащото разстояние до т. $D$ за $t_1 = 36\ \mathrm{s}$ , а № 9 изминава разстоянието до т. $A$ за $t_2 = 16\ \mathrm{s}$ .

[^1]: Върховете на правоъгълника са означени в последователност, аналогична на фигурата в Зад. 3.

а) Пресметнете скоростите на спортистите в km/h. Означете с $v_1$ скоростта на № 3, а с $v_2$ скоростта на № 9. (3 т.)

б) След колко време $t_3$ от началото на движението те ще се срещнат за трети път. (2 т.)

в) Определете минималното разстояние $L$ (измерено по периметъра) помежду № 9 и т. $A$ всеки път, когато № 3 преминава през т. $D$ , в интервала от време до 4 min от началото. За по-голяма яснота направете подходяща таблица, в която да запишете получените резултати (както и междинни пресмятания ако е необходимо). (5 т.)

Отговори

Решение

а) Нека двамата се срещат за пръв път в т. $M \notin AD$ . Означаваме пътя, изминат от № 3, със $s_1$ , а пътя, изминат от № 9, със $s_2$ . Тъй като се движат един срещу друг, сумата от изминатите от тях разстояния до първата среща е равна на $s_1 + s_2 = AB + BC + CD = 30 + 20 + 30 = 80\ \mathrm{m}$ . По условие знаем, че $s_2 - s_1 = 16\ \mathrm{m}$ . От последните две уравнения намираме $s_2 = 48\ \mathrm{m}$ и $s_1 = 32\ \mathrm{m}$ . (1 т.) След срещата № 3 изминава остатъка от пътя до т. $D$ (разстоянието $s_2 = 48\ \mathrm{m}$ ) за $t_1 = 36\ \mathrm{s}$ , откъдето $v_1 = 48/36 = 4/3 \approx 1{,}33\ \mathrm{m/s} = 4{,}8\ \mathrm{km/h}$ . (1 т.) № 9 изминава остатъка от пътя до т. $A$ (разстоянието $s_1 = 32\ \mathrm{m}$ ) за $t_2 = 16\ \mathrm{s}$ , откъдето $v_2 = 32/16 = 2{,}0\ \mathrm{m/s} = 7{,}2\ \mathrm{km/h}$ . (1 т.)

Правоъгълник ABCD с A долу вляво, B долу вдясно, C горе вдясно и D горе вляво; страната AB е 30,0 m, страната AD е 20,0 m; стрелка от A надясно е означена с № 3, стрелка от D надясно — с № 9; точка M е на страната BC малко над B. — Схема към решението на задача 1: правоъгълното игрище $ABCD$ със страни 30,0 m и 20,0 m, началните посоки на № 3 (от $A$ ) и № 9 (от $D$ ) и точката на първата среща $M$ .

б) До първата среща двамата изминават общо $s_1 + s_2 = 80\ \mathrm{m}$ . За всяка следваща среща (тъй като се движат в противоположни посоки по затворен контур) те трябва да изминат заедно допълнителен път, равен на една обиколка на игрището, $P = 2(AB + BC) = 2(30 + 20) = 100\ \mathrm{m}$ . (0,5 т.) Общият изминат път до третата среща е $s_3 = 80 + 2\cdot 100 = 280\ \mathrm{m}$ . (0,5 т.) Времето до третата среща, $t_3$ , се намира от равенството $s_3 = (v_1 + v_2)t_3$ : $t_3 = \frac{280}{4/3 + 2} = \frac{280}{10/3} = \frac{280\cdot 3}{10} = 84\ \mathrm{s}$ . (1 т.)

в) Времето за една пълна обиколка на № 3 е $T_1 = P/v_1 = 100/(4/3) = 75\ \mathrm{s}$ . (0,5 т.) Той достига за пръв път т. $D$ в момента $T_0 = (AB + BC + CD)/v_1 = 80/(4/3) = 60\ \mathrm{s}$ . (0,5 т.) Моментите на преминаване през $D$ в рамките на $4{,}0\ \mathrm{min} = 240\ \mathrm{s}$ са $t_i = T_0 + iT_1 < 240$ . № 9 тръгва от т. $D$ (посока $C \to B \to A \to D$ ). За време $t_i$ той изминава разстояние $s_i = v_2 t_i$ , (0,5 т.) което също е пресметнато в таблицата по-долу. Всяко разстояние $s_i$ може да се представи като цяло число $n$ по обиколката на игрището $P$ , плюс някакъв остатък $x_i$ , който определя на какво разстояние се намира № 9 спрямо т. $D$ .

$i$	0	1	2
$t_i$ , s	60	135	210	(0,5 т.)
$s_i$ , m	120	270	420
$s_i$ , m	$1\cdot 100 + 20$	$2\cdot 100 + 70$	$4\cdot 100 + 20$	(0,5 т.)
Позиция на № 9 след т. $D$ (в посока $C$ ), m	20 m	70 m	20 m	(0,5 т.)
Минимално разстояние от № 9 до т. $A$ , m	40 m	10 m	40 m	(2 т.)

Както се вижда от таблицата, когато № 3 е в т. $D$ , № 9 се намира периодично на минимално разстояние по периметъра $L = 10\ \mathrm{m}$ или $40\ \mathrm{m}$ от т. $A$ .

Оригинал в Архива: 7_zad7.pdf · официални решения: 7_resh7.pdf