Съдържание

НОФ 2026, II кръг (областен), 7. клас — Задача 2. Аквариум и парче пластмаса

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2026

Олимпиада по физика 2026, областен кръг, тема за VII клас (първа състезателна група) · 15 февруари 2026 г. · 10 т.

Условие

Разполагате с празен стъклен аквариум с основа квадрат със страна $L = 30\ \mathrm{cm}$ и височина $H = 36\ \mathrm{cm}$ (това са вътрешните размери на стените) и парче пластмаса с формата на правоъгълен паралелепипед с размери $a < b < c$ . Поставяте парчето на дъното на аквариума и наливате вода с маса $m_\text{в} = 4{,}2\ \mathrm{kg}$ . Водата не покрива тялото, а височината ѝ спрямо дъното е $h_0 = 7{,}0\ \mathrm{cm}$ . Без да доливате или изливате вода, завъртате парчето на другите му две страни, при което отново измервате височина на водното ниво, съответно: $h_1 = 6{,}0\ \mathrm{cm}$ и $h_2 = 5{,}6\ \mathrm{cm}$ .

а) Пресметнете плътността на пластмасата, ако знаете, че парчето има маса $m = 3{,}6\ \mathrm{kg}$ . Плътността на водата е $\rho_\text{в} = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ . (5 т.)

б) Определете стойностите на размерите $a, b$ и $c$ . (0,5 т.)

в) Парчето се поставя в аквариума с междинния размер $b$ вертикално. Аквариумът се пълни изцяло с вода с постоянен дебит[^2] $Q = 3{,}78\ \mathrm{L/min}$ , която се излива върху вече наличната вода. Изчислете скоростта, с която нивото на водата в аквариума се повишава, докато се напълни изцяло. За колко време ще се напълни аквариумът? (4,5 т.)

[^2]: Дебитът е величина, показваща количеството течност изтекла за единица време. [4,5 т.]

Отговори

Решение

а) Площта на основата на аквариума е $S = L^2 = 30^2 = 900\ \mathrm{cm^2}$ . (0,5 т.) Обемът на водата е $V_\text{в} = m_\text{в}/\rho_\text{в} = 4200\ \mathrm{cm^3}$ . (0,5 т.) Поставяме тялото последователно по три начина, така че страните $a, b$ и $c$ да бъдат негови височини. В тези случаи лицата на съответните основи са:

S_{bc} = bc = S - V_\text{в}/h_0 = 900 - 4200/7 = 900 - 600 = 300\ \mathrm{cm^2},\quad \textbf{(0,5 т.)}

S_{ac} = ac = S - V_\text{в}/h_1 = 900 - 4200/6 = 900 - 700 = 200\ \mathrm{cm^2},\quad \textbf{(0,5 т.)}

S_{ab} = ab = S - V_\text{в}/h_2 = 900 - 4200/5{,}6 = 900 - 750 = 150\ \mathrm{cm^2}.\quad \textbf{(0,5 т.)}

Тъй като $bc > ac > ab$ , получената подредба съответства точно на условието $a < b < c$ . (0,5 т.) За да намерим обема на тялото $V = abc$ , умножаваме трите уравнения: $(abc)^2 = 300\cdot 200\cdot 150 = 9\,000\,000 = 3000^2 = V^2$ . (0,5 т.) Следователно $V = 3000\ \mathrm{cm^3}$ . (0,5 т.) Плътността на пластмасата е $\rho = m/V = 3600/3000 = 1{,}2\ \mathrm{g/cm^3} = 1200\ \mathrm{kg/m^3}$ . (1 т.)

б) Като използваме резултата, получен в предното подусловие, определяме страните на тялото: $a = 3000/300 = 10\ \mathrm{cm}$ , $b = 3000/200 = 15\ \mathrm{cm}$ , $c = 3000/150 = 20\ \mathrm{cm}$ . (0,5 т.)

в) Тялото е поставено със страна $b = 15\ \mathrm{cm}$ вертикално, т.е. основата му е $S_{ac} = 200\ \mathrm{cm^2}$ . Началното ниво на водата е $h_1 = 6\ \mathrm{cm}$ . Дебитът е $Q = 3{,}78\ \mathrm{L/min} = 3780\ \mathrm{cm^3/min}$ . Скоростта на покачване на нивото на водата ще бъде дебитът на водата, разделен на свободната площ в аквариума. Тъй като $b < H$ , то в някакъв момент $t_1$ водата ще покрие тялото и площта ще се промени. Това означава, че в този момент и скоростта ще се промени.

Свободната площ на основата е $S_\text{св} = S - S_{ac} = 900 - 200 = 700\ \mathrm{cm^2}$ . (0,5 т.) Скоростта на покачване на нивото е $v_1 = Q/S_\text{св} = 3780/700 = 5{,}4\ \mathrm{cm/min}$ . (1 т.) Времето за достигане на горния ръб на тялото е $t_1 = (b - h_1)/v_1 = (15 - 6)/5{,}4 = 9/5{,}4 = \frac{10}{6}\ \mathrm{min} = 100\ \mathrm{s}$ . (0,5 т.)

От $b = 15\ \mathrm{cm}$ до $H = 36\ \mathrm{cm}$ водата запълва цялата площ на аквариума $S = 900\ \mathrm{cm^2}$ . (0,5 т.) Скоростта е $v_2 = Q/S = 3780/900 = 4{,}2\ \mathrm{cm/min}$ . (1 т.) Времето за запълване на тази част от аквариума е $t_2 = (H - b)/v_2 = (36 - 15)/4{,}2 = 21/4{,}2 = \frac{30}{6}\ \mathrm{min} = 300\ \mathrm{s}$ . (0,5 т.)

Общото време за напълване на съда е $t = t_1 + t_2 = 100 + 300 = 400\ \mathrm{s}$ или 6 min и 40 s. (0,5 т.) Това време може да се пресметне и чрез отношението $t = V_\text{п}/Q$ , където $V_\text{п} = L^2H - V - V_\text{в} = 32{,}4 - 3 - 4{,}2 = 25{,}2\ \mathrm{L}$ е празният обем в аквариума.

Оригинал в Архива: 7_zad7.pdf · официални решения: 7_resh7.pdf