Съдържание

НОФ 2026, II кръг (областен), 7. клас — Задача 3. Черна кутия с четири клеми

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2026

Олимпиада по физика 2026, областен кръг, тема за VII клас (първа състезателна група) · 15 февруари 2026 г. · 10 т.

Условие

Да разгледаме електрическа верига, скрита в черна кутия, така че не можем да видим елементите ѝ и как те са свързани помежду си. Кутията има четири клеми, да ги означим с $A, B, C$ и $D$ , вижте фигурата. Знаете, че между всеки две съседни клеми може да има свързано само съпротивление, проводник или да няма нищо свързано. Във веригата има два резистора със съпротивление $R_1$ и $R_2$ ( $R_1 < R_2$ ). Разполагате с допълнително съпротивление $R_0 = 1\ \mathrm{k\Omega}$ и батерия с неизвестно напрежение $U$ . Правим няколко измервания, като при всяко от тях допълнителният резистор $R_0$ и батерията се свързват последователно към две от клемите на кутията (да ги означим общо с $X$ и $Y$ ). В така получената верига измерваме тока $I_{XY}$ , както и напрежението върху клемите, $U_{XY}$ . В таблицата са представени резултатите от измерванията. Някои от стойностите са премахнати умишлено и са заменени с ×. Определете стойностите на $R_1, R_2, U$ , както и липсващите напрежения, означени с × в таблицата ( $U_{AC}$ и $U_{DA}$ ). Нарисувайте как изглежда веригата, обосновете отговора си. (10 т.)

Правоъгълна черна кутия, показана като квадрат, с четири клеми, отбелязани с точки във вътрешните ъгли: A долу вляво, B долу вдясно, C горе вдясно и D горе вляво. — Фигурата към задача 3: черната кутия с четирите клеми $A$ , $B$ , $C$ и $D$ .

$XY$	$I_{XY}$ , mA	$U_{XY}$ , V
$BC$	4	8
$AC$	4	×
$DA$	2	×

Указание: достатъчно е да намерите една верига, която отговаря на условието.

Отговори

Решение

От таблицата взимаме стойностите за $I_{BC} = 4\ \mathrm{mA}$ и $U_{BC} = 8\ \mathrm{V}$ и намираме съпротивлението между клеми $B$ и $C$ : $R_{BC} = U_{BC}/I_{BC} = 8\ \mathrm{V}/4\ \mathrm{mA} = 2\ \mathrm{k\Omega}$ . (1 т.)

Черната кутия, показана с пунктирана рамка с клеми A, B, C и D. Между D и C е включен резистор R2, между C и B е включен резистор R1, а между A и B има прав проводник; между D и A няма елемент. — Първото решение (горната фигура в оригинала): $R_2$ между $C$ и $D$ , $R_1$ между $B$ и $C$ , проводник между $A$ и $B$ и нищо между $D$ и $A$ .

Външният резистор $R_0 = 1\ \mathrm{k\Omega}$ и кутията (свързана през клеми $B$ и $C$ ) са свързани последователно към батерията. Токът през тях е един и същ, а напрежението на батерията $U$ е сбор от напреженията върху отделните елементи. Напрежението върху $R_0$ е $U_{R_0} = I_{BC}R_0 = 4\ \mathrm{mA}\cdot 1\ \mathrm{k\Omega} = 4\ \mathrm{V}$ . Тогава напрежението на батерията е: $U = U_{R_0} + U_{BC} = 4\ \mathrm{V} + 8\ \mathrm{V} = 12\ \mathrm{V}$ . (1 т.)

Токът през съпротивлението между клеми $A$ и $C$ е $I_{AC} = 4\ \mathrm{mA}$ . Тъй като веригата отново е последователна, напрежението върху $R_0$ в този случай е $U'_{R_0} = I_{AC}R_0 = 4\ \mathrm{mA}\cdot 1\ \mathrm{k\Omega} = 4\ \mathrm{V}$ . Напрежението върху клемите $AC$ (липсващото в таблицата) намираме като извадим напрежението на $R_0$ от това на батерията: $U_{AC} = U - U'_{R_0} = 12\ \mathrm{V} - 4\ \mathrm{V} = 8\ \mathrm{V}$ . (0,5 т.) Съпротивлението вътре в кутията между $A$ и $C$ е $R_{AC} = U_{AC}/I_{AC} = 8\ \mathrm{V}/4\ \mathrm{mA} = 2\ \mathrm{k\Omega}$ . (1 т.) Тъй като $R_{AC} = R_{BC} = 2\ \mathrm{k\Omega}$ (и напреженията са равни при еднакъв ток), това означава, че добавянето на участъка $AB$ към веригата не променя напрежението. Следователно между $A$ и $B$ има проводник ( $R_{AB} = 0\ \Omega$ ). (1 т.)

Черната кутия с пунктирана рамка и клеми A, B, C и D. Резистор R2 е включен между D и A (лявата страна), резистор R1 — между C и B (дясната страна), а между A и B има прав проводник; между C и D няма елемент. — Второто решение (долната фигура в оригинала): $R_2 = R_{DA} = 5\ \mathrm{k\Omega}$ между $D$ и $A$ , $R_1 = R_{BC} = 2\ \mathrm{k\Omega}$ между $C$ и $B$ , проводник между $A$ и $B$ и нищо между $C$ и $D$ .

За клеми $D$ и $A$ токът е $I_{DA} = 2\ \mathrm{mA}$ . Напрежението върху $R_0$ сега е $U''_{R_0} = I_{DA}R_0 = 2\ \mathrm{mA}\cdot 1\ \mathrm{k\Omega} = 2\ \mathrm{V}$ . Липсващото напрежение върху клемите на кутията е $U_{DA} = U - U''_{R_0} = 12\ \mathrm{V} - 2\ \mathrm{V} = 10\ \mathrm{V}$ . (0,5 т.) Съпротивлението между клемите е $R_{DA} = U_{DA}/I_{DA} = 10\ \mathrm{V}/2\ \mathrm{mA} = 5\ \mathrm{k\Omega}$ . (1 т.)

Разглеждаме пътя между $D$ и $A$ като последователно свързани елементи (през $C$ и $B$ ): $D \to C \to B \to A$ , тоест двете клеми $D$ и $A$ не са свързани директно. При последователно свързване общото напрежение е сума от напреженията върху отделните участъци: $U_{DA} = U_{CD} + U_{BC} + U_{AB}$ . Вече знаем, че $U_{DA} = 10\ \mathrm{V}$ и $U_{AB} = 0\ \mathrm{V}$ (проводник). Напрежението върху участъка $BC$ при този ток ( $I = 2\ \mathrm{mA}$ ) пресмятаме като: $U_{BC} = I_{DA}R_{BC} = 2\ \mathrm{mA}\cdot 2\ \mathrm{k\Omega} = 4\ \mathrm{V}$ . Заместваме в равенството за напреженията: $10\ \mathrm{V} = U_{CD} + 4\ \mathrm{V} + 0\ \mathrm{V}$ , откъдето намираме $U_{CD} = 6\ \mathrm{V}$ . Сега можем да намерим съпротивлението между $C$ и $D$ : $R_{CD} = U_{CD}/I_{DA} = 6\ \mathrm{V}/2\ \mathrm{mA} = 3\ \mathrm{k\Omega}$ . (1 т.)

От условието $R_1 < R_2$ следва, че $R_1 = 2\ \mathrm{k\Omega}$ (свързан между $B$ и $C$ ) (0,5 т.) и $R_2 = 3\ \mathrm{k\Omega}$ (свързан между $C$ и $D$ ). (0,5 т.) Между $A$ и $B$ има проводник, (0,5 т.) а между $D$ и $A$ няма директно свързан елемент. (0,5 т.) Схемата е показана на горната фигура. (1 т.)

Може да разгледаме и случая, когато токът минава директно през резистор, свързан между $D$ и $A$ . В този случай, елементът $R_{DA} = 5\ \mathrm{k\Omega}$ . За да бъде това единственият път за тока (и да не се разклонява към $C$ ), трябва връзката между $C$ и $D$ да е прекъсната (няма елемент между $C$ и $D$ ). В този случай съпротивленията ще са $R_1 = R_{BC} = 2\ \mathrm{k\Omega}$ и $R_2 = R_{DA} = 5\ \mathrm{k\Omega}$ . Схемата на свързване е показана на долната фигура.

Указание: дават се точки за което и да е от двете решения.

Оригинал в Архива: 7_zad7.pdf · официални решения: 7_resh7.pdf