Съдържание

НОФ 2026, II кръг (областен), 9. клас — Задача 2. Междузвездни войни

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2026

Областен кръг на олимпиадата по физика 2026, тема за IX клас (трета състезателна група) · 15 февруари 2026 г. · 10 т.

Условие

В отдалечена галактика, Галактическата империя и Земният Алианс следят движенията на противника, използвайки правоъгълна координатна система с начало в столицата на Империята. Разстоянията се измерват в милиони километри ( $10^6$ km), а времето – в дни (d). Например точка $P(0,4)$ има координати $(0,4)$ и се намира на 4 млн. километра от имперската столица.

В някакъв момент Императорът изпраща към имперския ударен флот, разположен в $I(40,30)$ , сигнал със заповед за атака на Земята, намираща се в $E(140,30)$ .

Веднага след получаване на заповедта, в момент $t = 0$ , имперският флот започва да се ускорява в посока към Земята равномерно с ускорение $a = 0.25\,\mathrm{m/s^2}$ за време $\tau = 4\cdot 10^5$ s, след което продължава движението си с постоянна скорост.

а) Колко време $T$ след получаване на заповедта имперският флот ще достигне Земята? [1,5 т.]

б) Когато имперският флот получава заповедта за атака, шпионин на Земния Алианс бяга с малка капсула, движеща се със скорост $v_{\text{к}} = 10^5\,\mathrm{m/s}$ , към земният флот, разположен първоначално в $F(80,60)$ . Когато пристига, той известява земното командване за имперската атака, при което командирът нарежда незабавно да поемат курс към планетата $X(80,30)$ , където ще пресрещнат имперския флот. Земният флот се ускорява от покой с постоянно ускорение $a'$ в посока планетата $X$ .

Колко време $\Delta t_1$ след тръгването на имперския флот шпионинът известява земния флот за атаката? [1 т.]

в) Определете положението (координатите) $(x_1, y_1)$ на имперския флот в момента, когато земният флот започва движението си. [1,5 т.]

г) Определете минималното ускорение $a'$ , което земният флот трябва да има, за да достигне точка $X$ точно едновременно с имперския флот. [1,5 т.]

д) Нека земният флот започнал да се ускорява с $a' = 6\,\mathrm{m/s^2}$ , но двигателите му аварират след $\tau' = 7.5\cdot 10^4\,\mathrm{s}$ , след което флотът продължава движението си с постоянна скорост.

Колко време $\Delta t_2$ след като имперският флот преминава през планетата $X$ , земният флот пристига там? [1,5 т.]

е) Земният флот е оборудван с прототипна лазерна пушка, чийто „снаряди“ се движат със скоростта на светлината. Обсегът на оръжието е $R = 0.5\cdot 10^6$ km.

Въпреки аварията на двигателите, възможно ли е земният флот да унищожи имперския флот с лазерното оръжие?

Жокер: Намерете минималното разстояние между двете флотилии. [3 т.]

Отговори

Решение

Координатна мрежа с оси x и y в единици 10 милиона километра; точка I вляво, точка E вдясно на същата хоризонтала, точка X между тях, точка F точно над X; синя стрелка от I към E, зелена стрелка от F към X и пунктирана линия през началото, I и F. — Чертеж към решението на зад. 2: положенията $I$ , $F$ , $X$ и $E$ в координатната система с оси в единици $10\cdot 10^6$ km.

а) Имперският флот започва движението си от покой. До моментът на спиране на двигателите, флотът ще е изминал разстояние $\frac{1}{2}a\tau^2$ (0.25 т.) и вече ще се движи със скорост $v = a\tau$ (0.25 т.). Тогава, понеже $IE = 100\cdot 10^6$ km, то

IE = \frac{1}{2}a\tau^2 + (a\tau)(T-\tau)\ \textbf{(0.5 т.)}\ \Rightarrow\ T = \frac{1}{2}\tau + \frac{IE}{a\tau} = 12\cdot 10^5\,\mathrm{s}\qquad \textbf{(0.5 т.)}

б) За времето $\Delta t_1$ шпионинът изминава разстоянието $IF$ от началното положение на имперския флот до земния флот. Тогава $\Delta t_1 = IF/v_{\text{к}} = IF\cdot 10^{-5}\,\mathrm{s/m}$ (0.5 т.). Така

\Delta t_1 = \sqrt{(80-40)^2 + (60-30)^2}\cdot 10^6\,\mathrm{km}\cdot 10^{-5}\,\mathrm{s/m}\ \Rightarrow\ \Delta t_1 = 5\cdot 10^5\,\mathrm{s}\qquad \textbf{(0.5 т.)}

в) За времето $\Delta t_1 = 5\cdot 10^5\,\mathrm{s} > \tau = 4\cdot 10^5\,\mathrm{s}$ , имперската флотилия вече е приключила своето ускорение и се е движила време $\Delta t_1 - \tau$ с постоянна скорост $a\tau$ (0.5 т.). В такъв случай, до момента, в който земната флота разбират за атаката, имперската флота ще е изминала разстояние $\frac{1}{2}a\tau^2 + a\tau(\Delta t_1 - \tau) = a\tau\Delta t_1 - \frac{1}{2}a\tau^2$ (0.5 т.). Тоест ще се намира в точка с координати

\frac{1}{2}a\tau(2\Delta t_1 - \tau) = 30\cdot 10^6\,\mathrm{km}\ \Rightarrow\ (x_1, y_1) \equiv (70, 30)\qquad \textbf{(0.5 т.)}

г) От момента на тръгване на Земния флот, на имперския флот му остава да измине още $(80 - x_1)\cdot 10^6\,\mathrm{km} = 10\cdot 10^6\,\mathrm{km}$ до планетата $X$ . Те се движат със скорост $a\tau = 10^5\,\mathrm{m/s}$ и следователно им остава $(80-x_1)\cdot 10^6\,\mathrm{km}/(a\tau) = 10^5\,\mathrm{s}$ до $X$ (0.5 т.). За това време земната флотилия трябва да достигне $X$ , т.е. да измине разстояние $FX = 30\cdot 10^6\,\mathrm{km}$ . Понеже започва от покой и се движи с ускорение $a'$ , то

\frac{1}{2}a'\left(\frac{(80-x_1)\cdot 10^6\,\mathrm{km}}{a\tau}\right)^2 = FX\ \textbf{(0.5 т.)}\ \Rightarrow\ a' = \frac{2(FX)a^2\tau^2}{((80-x_1)\cdot 10^6\,\mathrm{km})^2} = 6\,\mathrm{m/s^2}\qquad \textbf{(0.5 т.)}

д) За време $\tau' = 7.5\cdot 10^4\,\mathrm{s}$ земният флот изминава разстояние

a'\tau'^2/2 = 16.875\cdot 10^6\,\mathrm{km} < FX = 30\cdot 10^6\,\mathrm{km}\qquad \textbf{(0.25 т.)}

През останалата част от пътя флотът се движи с постоянна скорост $a'\tau'$ (0.25 т.). В такъв случай земната флота изминава разстоянието до $X$ за време $T'$ , за което

\frac{1}{2}a'\tau'^2 + a'\tau'(T'-\tau') = FX\ \textbf{(0.5 т.)}\ \Rightarrow\ T' = \frac{1}{2}\tau' + \frac{FX}{a'\tau'}

В такъв случай, за времето $\Delta t_2$ имаме:

\Delta t_2 = T' - \frac{(80-x_1)\cdot 10^6\,\mathrm{km}}{a\tau} = \frac{1}{2}\tau' + \frac{FX}{a'\tau'} - \frac{(80-x_1)\cdot 10^6\,\mathrm{km}}{a\tau} = \frac{10^5}{24}\,\mathrm{s} \approx 4170\,\mathrm{s}\qquad \textbf{(0.5 т.)}

е) Нека $x(t)$ е $x$ -координатата на имперската флота, а $y(t)$ е $y$ -координатата на земната флота. Тогава разстоянието $r(t)$ между двете е:

r^2(t) = (80 - x(t))^2 + (y(t) - 30)^2\qquad \textbf{(0.25 т.)}

Нека за улеснение положим, че $t = 0$ , когато земната флота пристига при планета $X$ . Тогава

x(t) = 80 + a\tau(t + \Delta t_2)\ \textbf{(0.5 т.)}\qquad\qquad y(t) = 30 - a'\tau' t\ \textbf{(0.5 т.)}

И съответно

r^2(t) = a^2\tau^2(t + \Delta t_2)^2 + a'^2\tau'^2 t^2 = (a^2\tau^2 + a'^2\tau'^2)t^2 + 2\Delta t_2 a^2\tau^2 t + a^2\tau^2 \Delta t_2^2

След отделяне на точен квардат се получава

r^2(t) = \left(\sqrt{a^2\tau^2 + a'^2\tau'^2}\, t + \frac{a^2\tau^2\Delta t_2}{\sqrt{a^2\tau^2 + a'^2\tau'^2}}\right)^2 + a^2\tau^2\Delta t_2^2\left(1 - \frac{a^2\tau^2}{a^2\tau^2 + a'^2\tau'^2}\right)

r(t) = \sqrt{\left(\sqrt{a^2\tau^2 + a'^2\tau'^2}\, t + \frac{a^2\tau^2\Delta t_2}{\sqrt{a^2\tau^2 + a'^2\tau'^2}}\right)^2 + \frac{a^2\tau^2 a'^2\tau'^2 \Delta t_2^2}{a^2\tau^2 + a'^2\tau'^2}}

Откъдето се получава

r_{\min} = \frac{a\tau a'\tau'\Delta t_2}{\sqrt{a^2\tau^2 + a'^2\tau'^2}} = \frac{\Delta t_2}{\sqrt{(a\tau)^{-2} + (a'\tau')^{-2}}}\qquad \textbf{(1 т.)}

r_{\min} = \frac{10^5\,\mathrm{s}}{24\sqrt{1^{-2} + 4.5^{-2}}\cdot 10^{-5}\,\mathrm{s/m}} \approx 0.4\cdot 10^6\,\mathrm{km}\qquad \textbf{(0.5 т.)}

Както е видно $r_{\min} < R = 0.5\cdot 10^6\,\mathrm{km}$ , откъдето следва, че земната флотилия ще може да прихване и унищожи имперската, т.е. Земята е в безопасност... засега. (0.25 т.)

Оригинал в Архива: 9_zad9.pdf · официални решения: 9_resh9.pdf