НОФ 2026, IV кръг, контролно 10 × 3 точки — Задача 10

Условие

Идеален едноатомен газ $({}^{4}_{2}\mathrm{He})$, който е пример за газ от бозони, се охлажда при фиксирани обем $V$ и брой частици $N$. При понижаване на температурата му се достига до температура $T_0$, под която свойствата на газа се определят от квантовите свойства на градивните частици – вълновите свойства на всяка отделна частица и неразличимостта на еднаквите частици.

а) Намерете израз за температурата $T_0$, като отчетете че вълновите свойства на частиците започват да се проявяват, когато дължината на вълната на Дьо Бройл при енергия на частицата, равна на средната енергия на топлинното движение, е равна приблизително на средното разстояние между частиците. Направете числена оценка на концентрацията $n = N/V$, ако $T_0 = 4\ \mathrm{K}$.

При температура $T < T_0$ всички частици на газа могат да бъдат разделени на две групи, всяка една от които включва макроскопичен брой частици. Първата група се състои от $N_0$ на брой частици, които се намират на най-ниското енергетично ниво $(\varepsilon = 0)$ и не участват в топлинното движение. Втората група от $N^*$ на брой частици с положителна енергия са разпределени по нивата с $\varepsilon > 0$, те участват в топлинното движение, като техния брой зависи от температурата и се дава с израза

Описаната картина се отнася за така наречения изроден идеален бозе-газ.

б) Определете топлинния капацитет $C_V$ на газа при $T < T_0$.

в) Намерете налягането $P$ на газа при $T < T_0$. Посочете характерната особеност на получения резултат за налягането.

Освен термодинамичните величини $T, V, N$, търсените характеристики трябва да включват константата на Планк $h$ (квантови свойства), константа на Болцман $k$ (топлинни свойства) и масата $m$ на хелиевия атом.

$h = 6{,}63.10^{-34}\ \mathrm{J.s}$

$k = 1{,}38.10^{-23}\ \mathrm{J/K}$

$m = 6{,}7.10^{-27}\ \mathrm{kg}$

Решение

---

Оригинал в Архива: k30_zad.pdf