Съдържание

O3A2 2020, Тест, 10–11 клас — Задача 2. Оптическая кулинария

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от O3A2 2020

Открытая онлайн-олимпиада по астрономии и астрофизике '20 — Тестовый тур · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

В условии задачи 7.1 («Триангулятор») упоминается таблица с экваториальными координатами трёх звёзд, но в исходном документе эта таблица не напечатана.

Условие

2.1 Определим зону жизни как область вокруг звезды, для которой установившаяся средняя температура планеты находится в пределах от $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ до $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Пусть вокруг звезды главной последовательности радиусом $R$ с температурой поверхности $T$ на внутренней границе зоны жизни обращается небольшая абсолютно чёрная планета. Определите радиус $r$ её орбиты. [2,5 т.]

2.2 Найдите видимую болометрическую звёздную величину $m$ звезды при наблюдении с планеты. [2,5 т.]

2.3 Используя соотношение масса – светимость $L \propto M^4$ для звёзд главной последовательности, вычислите период обращения планеты вокруг звезды. [2,5 т.]

2.4 На поверхности планеты установлен телескоп с эффективным диаметром объектива $D$ и фокусным расстоянием $F$ . Если навести этот телескоп на звезду, какова будет освещённость $E$ её изображения в фокальной плоскости телескопа? [2,5 т.]

Отговори

Решение

2.1 Запишем уравнение теплового баланса для планеты: $\dfrac{4\pi R^2 \sigma T^4}{4\pi r^2}\cdot \pi R_{\text{пл}}^2 = 4\pi R_{\text{пл}}^2 \sigma T_{\text{пл}}^4$ . С подстановкой $T_{\text{пл}} = T_{\max} = 373\ \text{К}$ радиус орбиты планеты

r = \frac{1}{2}R\left(\frac{T}{T_{\max}}\right)^2.

[2.5 балла]

2.2 Отношение освещённостей, создаваемых звездой на планете и Солнцем на Земле, есть

k = \frac{R^2}{R_{\odot}^2}\frac{T^4}{T_{\odot}^4}\frac{r_{\oplus}^2}{r^2}.

Используем формулу Погсона ( $m_{\odot}$ — видимая болометрическая звёздная величина Солнца):

m = m_{\odot} - 2.5\lg k = m_{\odot} - 2.5\lg\frac{R^2}{R_{\odot}^2}\frac{T^4}{T_{\odot}^4}\frac{r_{\oplus}^2}{r^2}.

[2.5 балла]

2.3 Масса звезды $M = M_{\odot}\sqrt[4]{\dfrac{L}{L_{\odot}}} = M_{\odot}\sqrt[4]{\dfrac{R^2}{R_{\odot}^2}\dfrac{T^4}{T_{\odot}^4}} = M_{\odot}\sqrt{\dfrac{R}{R_{\odot}}\dfrac{T}{T_{\odot}}}$ .
По известным массе звезды и радиусу орбиты вычислим период (3-й закон Кеплера):

\tau = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM_{\odot}}}\sqrt{\frac{R_{\odot}}{R}\frac{T_{\odot}}{T}}.

[2.5 балла]

2.4 Угловой радиус звезды при наблюдении с планеты $\rho \simeq R/r$ , поэтому диаметр изображения звезды в фокальной плоскости $d = 2\rho F = 2FR/r$ . На изображение приходится весь световой поток, собранный входной апертурой:

E = \frac{L}{4\pi r^2}\frac{\pi D^2}{4}\Big/\frac{\pi d^2}{4} = \frac{4\pi R^2 \sigma T^4}{4\pi r^2}\left(\frac{Dr}{2FR}\right)^2 = \frac{1}{4}\frac{D^2}{F^2}\sigma T^4.

[2.5 балла]

Оригинал в Архива: test-round.pdf