Съдържание

O3A2 2020, Тест, 10–11 клас — Задача 9. 7. Триангулятор (10-11)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от O3A2 2020

Открытая онлайн-олимпиада по астрономии и астрофизике '20 — Тестовый тур · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

В условии задачи 7.1 («Триангулятор») упоминается таблица с экваториальными координатами трёх звёзд, но в исходном документе эта таблица не напечатана.

Условие

7.1 В таблице приводятся экваториальные координаты трёх ярких звёзд ночного неба Земли на эпоху 2000.0: $\{(\alpha_i,\delta_i)_{i=1,\ldots,3}\}$ . Вычислите попарные угловые расстояния между этими тремя звёздами. [1,5 т.]

7.2 Найдите площадь $S$ сферического треугольника, образованного этими тремя светилами. Ответ выразите в стерадианах и квадратных градусах. [4 т.]

7.3 Найдите угол, который образуют между собой большие круги, содержащие дуги светило $i$ – светило $j$ и светило $j$ – светило $k$ . [1,5 т.]

7.4 Определите минимальный радиус $P$ круглого поля зрения, при котором в этом поле одновременно могут наблюдаться все три светила. [3 т.]

Отговори

Решение

7.1 Воспользуемся сферической теоремой косинусов для треугольника светило $i$ – светило $j$ – Северный полюс мира:

\cos\rho_{ij} = \cos(90^{\circ}-\delta_i)\cos(90^{\circ}-\delta_j) + \sin(90^{\circ}-\delta_i)\sin(90^{\circ}-\delta_j)\cos(\alpha_i-\alpha_j);

\rho_{ij} = \arccos\left[\sin\delta_i\sin\delta_j + \cos\delta_i\cos\delta_j\cos(\alpha_i-\alpha_j)\right].

[0.5 × 3 = 1.5 балла]

7.2 Площадь $S$ (в стерадианах) равна сферическому избытку $\varepsilon$ (в радианах). Для расчёта последнего необходимо вычислить углы рассматриваемого треугольника, используя сферическую теорему косинусов. Напротив дуги $\rho_{ij}$ лежит угол

\gamma_{ij} = \arccos\frac{\cos\rho_{ij}-\cos\rho_{ik}\cos\rho_{jk}}{\sin\rho_{ik}\sin\rho_{jk}}.

Искомая площадь (в стерадианах) $S = \varepsilon = \rho_1+\rho_2+\rho_3-\pi$ . При переводе в квадратные градусы используется тот факт, что $1\ \text{ср} = (180^{\circ}/\pi)^2 \simeq 3282.8\ \square^{\circ}$ . [3 + 1 = 4 балла]

7.3 Это и есть найденный ранее угол $\gamma_{ik}$ . [1.5 балла]

7.4 По существу ищем угловой радиус описанной окружности для заданного сферического треугольника. Заметим, что эта описанная окружность является одновременно описанной окружностью для плоского треугольника, образованного теми же вершинами.

Отрезки – стороны плоского треугольника являются хордами, стягивающими дуги – стороны соответствующего сферического треугольника. Полагая радиус небесной сферы равным 1, вычислим длины отрезков: $l_i = 2\sin(\rho_i/2)$ .

Радиус описанной окружности плоского треугольника есть $R = l_1l_2l_3/(4S)$ , где $S$ — площадь плоского треугольника, которую можно рассчитать по формуле Герона:

R = \frac{1}{4}\frac{l_1l_2l_3}{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}, \qquad p \equiv \frac{l_1+l_2+l_3}{2} \text{ — полупериметр.}

Диаметр описанной окружности плоского треугольника — хорда, стягивающая диаметр описанной окружности соответствующего сферического треугольника, откуда искомый радиус

P = \arcsin R.

[3 балла]

Оригинал в Архива: test-round.pdf