Съдържание

O3A2 2020, Тест, 10–11 клас — Задача 8. 6. Две весёлые ракеты (10–11)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от O3A2 2020

Открытая онлайн-олимпиада по астрономии и астрофизике '20 — Тестовый тур · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

В условии задачи 7.1 («Триангулятор») упоминается таблица с экваториальными координатами трёх звёзд, но в исходном документе эта таблица не напечатана.

Условие

6.1 Две ракеты имеют одинаковый удельный импульс двигателя $u$ . У первой ракеты масса топлива составляет $\alpha_1$ от начальной массы, у второй — $\alpha_2$ . Как соотносятся конечные скорости ракет $v_2/v_1$ при разгоне из состояния покоя в отсутствие внешних воздействий? [3 т.]

6.2 Предположим, $i$ -я ракета сначала разгоняется до некоторой скорости, а затем тормозит до полной остановки. Вычислите максимальную скорость $v_m$ , которую ракета могла бы развить при таком движении. Потерей топлива на разворот ракеты пренебрегите. [3 т.]

6.3 Какую долю $\beta_m$ от исходной массы $j$ -й ракеты составляла бы её масса к моменту достижения скорости $v_m$ ? [1,5 т.]

6.4 В течение какого промежутка времени $k$ -я ракета смогла бы «зависнуть» на небольшой высоте над поверхностью Земли в отсутствие атмосферы? [2,5 т.]

Отговори

Решение

6.1 По формуле Циолковского $v_i = u_i\ln\dfrac{m_{\text{нач},i}}{m_{\text{кон},i}} = u_i\ln\dfrac{m_{\text{нач},i}}{m_{\text{нач},i}(1-\alpha_i)} = -u_i\ln(1-\alpha_i)$ . При равных удельных импульсах двигателя ( $u_1=u_2=u$ ) искомое соотношение равно

\frac{v_2}{v_1} = \frac{\ln(1-\alpha_2)}{\ln(1-\alpha_1)}.

[3 балла]

6.2 Ракета движется вдоль прямой, иначе топливо тратилось бы не только на разгон-торможение, но и на поворот вектора скорости. Из формулы Циолковского следует, что

m_i = m_{\text{нач},i}\cdot\exp\left(-\frac{\Delta v}{u}\right),

где $\Delta v$ — величина изменения скорости ракеты. Максимальная скорость $v_m$ достигается при полном исчерпании топлива к моменту остановки:

(1-\alpha_i)m_{\text{нач},i} = m_{\text{нач},i}\cdot\exp\left(-\frac{v_m}{u}\right)\cdot\exp\left(-\frac{v_m}{u}\right) \implies v_m = -\frac{1}{2}u\ln(1-\alpha_i).

[3 балла]

6.3 Вновь из формулы Циолковского следует, что

\beta_m = \exp\left(-\frac{v_m}{u}\right) = \exp\left(\frac{1}{2}\ln(1-\alpha_i)\right) = \sqrt{1-\alpha_i}.

[1.5 балла]

6.4 Условие равновесия ракеты — равенство реактивной и гравитационной сил: $\mu u = mg$ , где $\mu = -\Delta m/\Delta t$ — расход топлива, откуда $\dfrac{\Delta m}{m} = -\dfrac{g}{u}\Delta t$ . С другой стороны, вне гравитационного поля по второму закону Ньютона $ma = \mu u$ , что с учётом $a \equiv \Delta v/\Delta t$ приводит к уравнению $\dfrac{\Delta m}{m} = -\dfrac{\Delta v}{u}$ . Поскольку левые части уравнений совпадают, приравняем правые, а затем от приращений перейдём к конечным величинам:

t = \frac{v_{\text{кон},k}}{g} = \frac{u}{g}\ln\frac{m_{\text{нач},k}}{m_{\text{кон},k}} = -\frac{u}{g}\ln(1-\alpha_k).

[2.5 балла]

Оригинал в Архива: test-round.pdf