O3A2 2020, Теория — Задача 1. Без тени сомнений

• 5.2 сут.

  Также найдено, что минимальный модуль склонения Солнца при такой ситуации ≈18.6°, что соответствует ≈38 дням от солнцестояния.

Будем рассматривать угол $\beta$ между плоскостью орбиты МКС и направлением на Солнце. Нетрудно найти (если не руками, то в интернете), что

1 балл

где $\alpha_{\odot}$ и $\delta_{\odot}$ — соответственно прямое восхождение и склонение Солнца, $\Omega$ — прямое восхождение восходящего узла орбиты спутника, $i$ — наклонение орбиты спутника. При $|\sin\beta| \geqslant \sin\beta_0$ Солнце будет освещать спутник постоянно, причём $\beta_0$, очевидно, есть видимый угловой радиус Земли:

2 балла

Очевидно, наибольшая продолжительность промежутка достигается при достижении максимально возможного $|\beta_{\max}| = \varepsilon + i$ — вблизи солнцестояния при совпадающем «подъёме» орбиты:

Период прецессии узлов орбиты МКС составляет 2 месяца, поэтому для оценки будем считать, что $\Omega=6\tau$, $\alpha_{\odot}=6^{h}$:

Последнее уравнение имеет корни $\tau=\pm 2.54^{\circ}$, откуда искомая максимальная продолжительность промежутка $2\tau/360^{\circ}\times 365.25\ \text{сут.} = \boxed{5.2\ \text{сут.}}$
3 балла

Заметим, что

то есть минимальный модуль склонения Солнца $|\delta_{\odot}|_{\min} = \arcsin\frac{R_{\oplus}}{R_{\oplus}+h} - i \simeq 18.6^{\circ}$.
2 балла

Это соответствует $365.25/360^{\circ}\times\arccos 18.6/\varepsilon \simeq \boxed{38\ \text{дням от солнцестояния.}}$
2 балла