Съдържание

O3A2 2020, Теория — Задача 6. Чёрное дело

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от O3A2 2020

Открытая онлайн-олимпиада по астрономии и астрофизике '20 — Теоретический тур

Условие

Сравните мощность излучения гравитационных волн системой Солнце – Земля с мощностью излучения абсолютно чёрного тела, имеющего максимум излучения на той же длине волны, с характерным размером, равным размеру системы. Какой промежуток времени потребовался бы для «нагрева» гравитационного излучения системы на 1 градус за счёт потерь энергии на это излучение?

Отговори

Решение

Мощность излучения гравитационных волн составляет

P_G = \frac{32}{5}\frac{G^4}{c^5}\frac{\mathfrak{M}_{\odot}^2\mathfrak{M}_{\oplus}^2(\mathfrak{M}_{\odot}+\mathfrak{M}_{\oplus})}{a_{\oplus}^5} \simeq \frac{32}{5}\frac{G^4}{c^5}\frac{\mathfrak{M}_{\odot}^3\mathfrak{M}_{\oplus}^2}{a_{\oplus}^5} = \frac{32}{5}\left(\frac{v_{\oplus}}{c}\right)^5\left(\frac{\mathfrak{M}_{\oplus}}{\mathfrak{M}_{\odot}}\right)^2\cdot\frac{v_{\oplus}^5}{G} \simeq

\simeq 6.4\times(10^{-4})^5\times(3.3\cdot 10^5)^{-2}\times(29.7\cdot 10^3)^5/6.67\cdot 10^{-11}\ [\text{СИ}] \sim 200\ \text{Вт.}

1 балл

Частота излучения гравитационных волн вдвое превосходит орбитальную частоту, поэтому

\lambda_G = \frac{c}{f_G} = \frac{c}{2f_{\text{орб}}} = \frac{cT_{\oplus}}{2} = 0.5\ \text{св. года} = 4.73\cdot 10^{15}\ \text{м.}

2 балла

Температура АЧТ с максимумом излучения на $\lambda_G$ в соответствии с законом Вина есть

T = \frac{b}{\lambda_G} = \frac{2b}{cT_{\oplus}} = \frac{2.898\cdot 10^{-3}\ \text{м}\cdot\text{К}}{4.73\cdot 10^{15}\ \text{м}} \simeq 6.13\cdot 10^{-19}\ \text{К,}

2 балла

а излучаемая АЧТ с такой температурой и размером $a_{\oplus}=1$ а.е. мощность

P_R \sim a_{\oplus}^2\sigma T^4 = (1.496\cdot 10^{11})^2\times 5.67\cdot 10^{-8}\times(6.13\cdot 10^{-19})^4 \sim 2\cdot 10^{-58}\ \text{Вт.}

2 балла

Считать АЧТ шаром (ответ в $\pi$ раз больше), кубом (— в 6 раз) и т.п. допустимо. Видим, что мощность гравитационного излучения на 60 порядков (!) больше.
1 балл

В случае «нагрева» излучения на 1 градус $T'\simeq 1\ \text{К}$ , откуда $\lambda\sim 3\ \text{мм}$ . Очевидно, система Солнце – Земля не может существовать с такой малой длиной гравитационной волны (большая полуось заведомо её меньше), то есть ответ: такого не может быть.
2 балла

Оригинал в Архива: theory.pdf · официални решения: theory-sol.pdf