НПСФ 2001, 10–11 клас — Задача 2

• $v = \sqrt{\frac{19}{32}\ell_0 g}$ ≈ $1.7$ m/s

За чертеж с правилно означени сили и анализ - 3т.

От втори закон на Нютон:

$x: T - F_x = ma$ (2т.)

$y: mg - F_y - N = 0$ (2т.), където $F = k\Delta\ell$ (2т.) е силата на еластичност на пружината, $\Delta\ell$ е деформацията на пружината, $N$ - реакцията на опората, $T$ - силата на опън на нишката.

Условието тялото А да се откъсне от равнината е $N = 0$ (2т.), т.е

$mg = F\cos\varphi$

$mg = k\Delta\ell\cos\varphi$ (2т.)

$\frac{\ell_0}{\ell_0 + \Delta\ell} = \cos\varphi$ (2т.)

$\ell_0 = \ell_0\cos\varphi + \Delta\ell\cos\varphi$

$\Delta\ell = \frac{\ell_0(1 - \cos\varphi)}{\cos\varphi}$ (1т.)

$mg = k\ell_0(1 - \cos\varphi)$ (1т.)

$mg = 5mg(1 - \cos\varphi)$ (1т.)

$\cos\varphi = \frac{4}{5}$ (1т.)

$\mathrm{tg}\varphi = \frac{3}{4}$ (1т.)

Тъй като не действат сили на триене, системата, състояща се от двете тела, пружината и Земята, е консервативна и е в сила закона за запазване на енергията: $E_1 = E_2$ (3т.), където $E_1$ е енергията в началния момент (състояние 1), а $E_2$ е енергията в момента, когато тялото А се отделя от равнината (състояние 2).

В състояние 1 системата притежава изцяло потенциална енергия, определена от взаимодействието на тялото В със Земята:

$E_1 = E_p = mgx$ (3т.)

В състояние 2 енергията е сума от кинетичната енергия на телата А и В и потенциалната енергия на пружината $\frac{k\Delta\ell^2}{2}$ (2т.)

$E_2 = 2E_k + \frac{k\Delta\ell^2}{2} = 2\frac{mv^2}{2} + \frac{k\Delta\ell^2}{2}$ (3т.)

$x = \ell_0\mathrm{tg}\varphi$ (1т.)

$\frac{3}{4}mg\ell_0 = mv^2 + \frac{5}{2}mg\ell_0\frac{\left(1 - \frac{4}{5}\right)^2}{\left(\frac{4}{5}\right)^2}$ (1т.)

$v = \sqrt{\frac{19}{32}\ell_0 g}$ (1т.)

$v = 1.7m/s$ (1т.)