НПСФ 2001, 10–11 клас — Задача 3

• ω = 2 rad/s; x = 0.4 m

  От официалното решение: $\omega = \frac{6m_1vx}{m_2b^2} = 2\ \mathrm{rad/s}$ и $x = \frac{2}{3}b = 0.4\ \mathrm{m}$.

Разглеждаме системата пластинка - куршум. Външни за тази система се явяват силата на тежестта и реакцията на опората. Следователно импулсът на системата се изменя и $\Delta\vec{p}_{\perp} = \langle\vec{F}\rangle\Delta t$ (3т.), където $\Delta\vec{p}_{\perp}$ е хоризонталната компонента на изменението на импулса, а $\langle\vec{F}\rangle$ е средната стойност на хоризонталната съставяща на реакцията на опората.

Тъй като и двете сили нямат въртящ момент спрямо оста на въртене, е в сила закона за запазване момента на импулса: $\vec{L}_1 = \vec{L}_2$ (3т.).

Преди взаимодействието на куршума с пластинката, моментът на импулса $\vec{L}_1$ се обуславя единствено от движението на куршума: $|\vec{L}_1| = rm_1v\sin\alpha = m_1vx$ (3т.).

След удара моментът на импулса е: $|\vec{L}_2| = J\omega - m_1ru\sin\alpha = J\omega - m_1ux$ (3т.), където u е скоростта на куршума след удара.

$^{*}\ m_1vx = J\omega - m_1ux \Rightarrow u = \frac{J\omega}{m_1x} - mv$ (1т.).

Тъй като ударът между пластинката и куршума е абсолютно еластичен, е в сила закона за запазване на енергията: $E_1 = E_2$ (2т.).

$E_1 = \frac{m_1v^2}{2}$ (2т.).

$E_2 = \frac{J\omega^2}{2} + \frac{m_1u^2}{2}$ (2т.).

$^{**}\ \frac{m_1v^2}{2} = \frac{J\omega^2}{2} + \frac{m_1u^2}{2}$ (1т.).

От зависимости $^{*}$ и $^{**}$

$\omega = \frac{6m_1vx}{m_2b^2}$ (1т.).

$\omega = 2rad/s$ (1т.)

В случая, когато хоризонталната съставяща на силата на реакция е 0

$\Delta p = 0,\ \vec{p}_1 = \vec{p}_2$ (2т.).

Законът за запазване на импулса се прилага за центъра на пластинката (2т.).

$\vec{p}_1 = m_1\vec{v}$ (2т.).

$\vec{p}_2 = m_2\vec{v}_c + m_1\vec{u}$ (2т.), където $v_c$ е скоростта на центъра на тежестта на пластината.

$v_c = \omega\frac{b}{2}$ (1т.) Следователно: $m_1v = m_2\omega\frac{b}{2} - m_1u$ (1т.)

Но от зависимост $^{*}$ $m_1(v + u) = \frac{J\omega}{x}$ (1т.)

Тогава $x = \frac{2J}{m_2b} = \frac{2}{3}b$ (1т.)

$x = 0.4m$ (1т.)