Съдържание

НПСФ 2002, Специална тема — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2002

РЕГИОНАЛНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА · БУРГАС · 23.03.2002 г. · ТЕМА ПО ПРОГРАМАТА НА МОФ · 23 март 2002 г.

Внимание: Бележка към темата

Регионално (областно) пролетно състезание; в каталъга кръгът е null.

Условие

Топлинен двигател извършва равновесен цикличен процес, изобразен на фиг. 2. Работното вещество на двигателя е 1 mol идеален едноатомен газ.

P–V диаграма на цикъл 1–2–3: 1 при (V0, P0), 2 при (2V0, 2P0), 3 при (2V0, P0); процес 1–2 е права линия нагоре, 2–3 изохорно надолу, 3–1 изобарно наляво. — Фиг. 2

а) Изразете максималната и минималната температури на работното вещество чрез $p_0$ и $V_0$ .

б) Намерете КПД на двигателя.

в) Какъв би бил КПД на двигател работещ по цикъла на Карно при същите максимална и минимална температури?

Отговори

Решение

а) Температурата на газа е

T = \frac{PV}{R},\ \textbf{[1 т.]}

където $R$ е газовата константа. Максималната (минималната) температура съответства на максимално (минимално) произведение $PV$ . От $PV$ диаграмата се вижда, че:

T_{\min} = T_1 = \frac{P_0 V_0}{R}\ \textbf{[1 т.]} \quad \text{и} \quad T_{\max} = T_2 = \frac{4P_0 V_0}{R}\ \textbf{[1 т.]}

б) Механичната работа на двигателя за един цикъл съответства на площта, която загражда $PV$ диаграмата на кръговия процес:

A = \frac{(P_2 - P_1)(V_2 - V_1)}{2} = \frac{P_0 V_0}{2}.\ \textbf{[1 т.]}

Работното вещество поглъща топлина само по време на процеса $1-2$ :

Q_{12} = \Delta U + A_{12},\ \textbf{[2 т.]}

където $\Delta U = C_V(T_2 - T_1)\ \textbf{[2 т.]}$ е изменението на вътрешната енергия на газа, а

A_{12} = \frac{(P_2 + P_1)(V_2 - V_1)}{2} = \frac{3P_0 V_0}{2}\ \textbf{[2 т.]}

е механичната работа, която газът извършва. Като отчетем, че за едноатомен газ моларният топлинен капацитет при постоянен обем е $C_V = 3/2\ R$ [1 т.], намираме погълнатото количество топлина:

Q_{12} = 6P_0 V_0\ \textbf{[1 т.]}

Оттук определяме коефициента на полезно действие:

\eta = \frac{A}{Q_{12}} = \frac{1}{12}\ \textbf{[2 т.]}

в) За двигател на Карно, който работи при същите $T_{\min}$ и $T_{\max}$ , получаваме:

\eta_{\text{Карно}} = 1 - \frac{T_{\min}}{T_{\max}} = \frac{3}{4}\ \textbf{[1 т.]}

Коментар: Фактът, че $\eta < \eta_{\text{Карно}}$ следва от т. нар. теорема на Карно, която гласи: „От всички циклични топлинни машини, които работят при еднакви минимални и еднакви максимални температури на работното вещество, най-голям КПД има двигател, който работи по цикъла на Карно.“

Оригинал в Архива: proletni_2002_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2002_STsolutions.pdf