Съдържание

НПСФ 2002, Специална тема — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2002

РЕГИОНАЛНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА · БУРГАС · 23.03.2002 г. · ТЕМА ПО ПРОГРАМАТА НА МОФ · 23 март 2002 г.

Внимание: Бележка към темата

Регионално (областно) пролетно състезание; в каталъга кръгът е null.

Условие

Две успоредни метални релси, разположени на разстояние $l = 0{,}1\ \mathrm{m}$ една от друга, са наклонени под ъгъл $\alpha = 30^{\circ}$ спрямо хоризонта (вж. фиг. 3). Релсите се намират в еднородно магнитно поле с индукция $B = 0{,}10\ \mathrm{T}$ , насочено вертикално нагоре. Към горните краища на релсите е свързана намотка с индуктивност $L = 1{,}0\cdot 10^{-3}\ \mathrm{H}$ . По релсите започва да се хлъзга без триене метална жичка $PQ$ с маса $m = 1{,}0\cdot 10^{-3}\ \mathrm{kg}$ . Жичката, релсите и намотката образуват затворена електрическа верига с пренебрежимо малко съпротивление.

Схема: две наклонени под ъгъл α релси на разстояние l; намотка с индуктивност L в горния край; жичка PQ с маса m на разстояние x от горния край; вертикално нагоре поле B; стрелка g надолу. — Фиг. 3

а) В началния момент жичката се намира в горния край на релсите ( $x = 0$ ) с нулева начална скорост. Получете израз за големината на електричния ток, който протича във веригата като функция на преместването $x$ на жичката. В каква посока, от т. $P$ към т. $Q$ или от т. $Q$ към т. $P$ , тече токът през жичката?

б) На какво максимално разстояние $x_{\max}$ ще се отдалечи жичката от своето начално положение?

в) Движението на жичката по релсите представлява хармонично трептене. Намерете неговата амплитуда $A$ и период $T$ .

Приемете, че ускорението на свободно падане е $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ .

Отговори

Решение

а) Потокът на външното магнитно поле през контура, съставен от жичката, релсите и намотката, е $\Phi = Blx\cos\alpha$ . При движение на жичката потокът се променя и това води до индуциране на електродвижещо напрежение с големина:

U_1^{*} = \left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right| = Bl\frac{\Delta x}{\Delta t}\cos\alpha = Blv\cos\alpha,\ \textbf{[1 т.]}

където $v$ е скоростта на жичката. Съгласно с правилото на Ленц посоката на тока, породен от индуцираното ЕДН, е такава, че магнитното поле $\vec{B}^{\,\prime}$ , което създава този ток компенсира нарастването на външния магнитен поток. От правилото на дясната ръка следва, че посоката на индуцирания ток $I$ през жичката е от т. $Q$ към т. $P$ . [1 т.]
В намотката поради самоиндукция възниква ЕДН:

U_2^{*} = -L\frac{\Delta I}{\Delta t}.\ \textbf{[1 т.]}

Знакът „–“ означава, че $U_2^{*}$ има противоположна посока спрямо $U_1^{*}$ . Тъй като веригата има нулево съпротивление, е изпълнено равенството $U_1^{*} + U_2^{*} = 0$ . Оттук следва, че:

L\frac{\Delta I}{\Delta t} = Bl\frac{\Delta x}{\Delta t}\cos\alpha\ \textbf{[1 т.]} \quad \text{или} \quad I = \frac{Blx}{L}\cos\alpha.\ \textbf{[1 т.]}

б) Пълната енергия на системата жичка + релси + намотка е съставена от три събираеми: $E = K + U + W$ , където:
$K = \dfrac{mv^2}{2}$ е кинетичната енергия на жичката; [0,5 т.]
$U = -mgh = -mgx\sin\alpha$ е потенциалната енергия на жичката. Знакът минус възниква, защото приемаме, че горният край на релсите е нулево ниво за отчитане на потенциалната енергия; [0,5 т.]

W = \frac{LI^2}{2} = \frac{(Blx\cos\alpha)^2}{2L}

е енергията на магнитното поле в намотката. [1 т.]
Тъй като в началния момент $v = 0$ и $x = 0$ , пълната енергия е нула. Поради липсата на триене пълната енергия на системата се запазва. В момента на максимално отклонение ( $x = x_{\max}$ ) скоростта на жичката е нула, т. е. $K = 0$ . От закона за запазване на енергията следва, че:

\frac{(Blx_{\max}\cos\alpha)^2}{2L} - mgx_{\max}\sin\alpha = 0,\ \textbf{[1 т.]}

откъдето намираме:

x_{\max} = \frac{2mgL\sin\alpha}{(Bl\cos\alpha)^2} \approx 13\ \mathrm{cm}.\ \textbf{[1 т.]}

в) I метод
Записваме израза за пълната енергия на системата:

E = \frac{(Blx\cos\alpha)^2}{2L} + \frac{mv^2}{2} - mgx\sin\alpha.

От ЗЗЕ следва, че първата производна на енергията $E'(t)$ по времето е равна на нула:

E' = \frac{(Bl\cos\alpha)^2}{L}xx' + mvv' - mgx'\sin\alpha = 0.\ \textbf{[1 т.]}

Като вземем предвид, че $v = x'$ и съкратим на скоростта, получаваме:
(1)

ma = -\frac{(Bl\cos\alpha)^2}{L}x + mg\sin\alpha,\ \textbf{[1 т.]}

където $a = v'$ е ускорението на жичката. Полученото уравнение описва хармонично трептене с кръгова честота:

\omega = \frac{Bl\cos\alpha}{\sqrt{mL}}

и период: [1 т.]

T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi\sqrt{mL}}{Bl\cos\alpha} \approx 0{,}73\ \mathrm{s}.\ \textbf{[1 т.]}

II метод
На жичката действа в хоризонтална посока магнитната сила $F_{\mathrm{m}} = IBl$ , чиято проекция върху оста $x$ е $-IBl\cos\alpha$ . Като отчетем, че проекцията на силата на тежестта върху оста $x$ е $mg\sin\alpha$ , получаваме уравнението за хармонично трептене (1).
Равновесното положение $x_0$ , спрямо което трепти жичката, се определя от условието $a = 0$ . От уравнението за движение намираме:

x_0 = \frac{mgL\sin\alpha}{(Bl\cos\alpha)^2} = \frac{x_{\max}}{2}.\ \textbf{[1 т.]}

Амплитудата е равна на максималното отклонение спрямо равновесното положение:

A = |x_{\max} - x_0| = x_{\max}/2 \approx 7{,}5\ \mathrm{cm}.\ \textbf{[1 т.]}

Оригинал в Архива: proletni_2002_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2002_STsolutions.pdf