Съдържание

НПСФ 2002, Специална тема — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2002

РЕГИОНАЛНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА · БУРГАС · 23.03.2002 г. · ТЕМА ПО ПРОГРАМАТА НА МОФ · 23 март 2002 г.

Внимание: Бележка към темата

Регионално (областно) пролетно състезание; в каталъга кръгът е null.

Условие

На фиг. 4 е представена експериментално установената зависимост на скоростта $u$ на вълните върху водната повърхност от дължината на вълната $\lambda$ . Дълбочината на съда $h$ е много по-голяма от $\lambda$ .

Експериментален график u (cm/s) срещу λ (cm): крива с минимум около λ≈1,5 cm, u≈23 cm/s, след което монотонно расте до около 97 cm/s при λ=30 cm. — Фиг. 4

Празна милиметрова хартия за построяване на графика в т. в). — Милиметрова скала

а) В съда е потопен вибратор, който трепти с честота $\nu = 5\ \mathrm{Hz}$ . Намерете дължината на вълната, породена от трептенето на вибратора. Оценете грешката на вашето пресмятане.

б) Теоретичните разглеждания показват, че при $\lambda \geq 5\ \mathrm{cm}$ , скоростта на вълните по повърхността на водата би могла да зависи само от три параметъра: дължината на вълната, плътността на течността $\rho$ и земното ускорение $g$ . В този случай функционалната зависимост има следния вид:

u = C\lambda^{p}\rho^{q}g^{r},

където $C$ е безразмерна константа, а $p$ , $q$ и $r$ са неизвестни степенни показатели. Като използвате факта, че размерностите на двете страни в уравнението са еднакви, намерете степенните показатели $p$ , $q$ и $r$ .

в) Като използвате експерименталните данни от фиг. 4, постройте върху приложената милиметрова скала (под фиг. 4) подходяща графика, с която да докажете получената от вас степенна зависимост на $u$ от $\lambda$ . Намерете също така стойността на константата $C$ . Приемете, че земното ускорение е $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ .
Указание: Ако решението налага, можете да извършвате графични построения директно върху фиг. 4. Милиметровата скала е предназначена за да представите решението на т. в). Допълнителна милиметрова хартия няма да бъде раздавана. След като завършите работата, предайте листа, на който се намират фиг. 4 и милиметровата скала.

Отговори

Решение

а) Връзката между скоростта, дължината и честотата на вълната се дава с уравнението $u = \nu\lambda$ [1 т.]. При зададена честота $\nu = 5\ \mathrm{Hz}$ допустимите стойности на $u$ в cm/s и на $\lambda$ в cm лежат върху права, която се задава с уравнението $u = 5\lambda$ . Дължината на вълната се определя от пресечната точка на тази права с графиката на експерименталната зависимост $u = f(\lambda)$ . Така определяме $\lambda \approx 12{,}5\ \mathrm{cm}$ . Грешката е равна на 1/2 от разделителната способност на скалата, т. е. $\lambda = (12{,}5 \pm 0{,}5)\ \mathrm{cm}$ [1 т.].

[2 т.]

б) Изразяваме размерностите на зададените величини чрез основните мерни единици:
$[u] = \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ ; $[\lambda] = \mathrm{m}$ ; $[\rho] = \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ и $[g] = \mathrm{m\cdot s^{-2}}$ . [1 т.]
След като заместим в уравнението $u = C\lambda^{p}\rho^{q}g^{r}$ , получаваме:

\mathrm{m\cdot s^{-1}} = \mathrm{m}^{p-3q+r}\cdot\mathrm{kg}^{q}\cdot\mathrm{s}^{-2r}.\ \textbf{[1 т.]}

За да бъдат размерностите в двете страни на уравнението еднакви е необходимо степенните показатели на съответните основни единици да бъдат равни:

p - 3q + r = 1

q = 0

2r = 1.

[1 т.]
Оттук определяме $p = \tfrac{1}{2}$ , $q = 0$ , $r = \tfrac{1}{2}$ , т. е. търсената зависимост има следния вид:
(1)

u = C\sqrt{\lambda g}\ \textbf{[2 т.]}

в) I метод
Ако изберем нова независима променлива $x = \sqrt{\lambda}$ , зависимостта на $u$ от $x$ се изобразява с права линия, минаваща през началото на координатната система:

u = kx.\ \textbf{[1 т.]}

Неизвестната константа $C$ се определя от ъгловия коефициент $k$ на правата по формулата:

C = \frac{k}{\sqrt{g}}.

От графиката на фиг. 4 отчитаме поне 5 числени стойности за $\lambda$ и $u$ и ги нанасяме в таблица: [1 т.]

$\lambda$ , m	$x = \sqrt{\lambda}$ , $\mathrm{m^{1/2}}$	$u$ , m/s
0,05	0,22	0,4
0,10	0,32	0,55
0,15	0,39	0,69
0,20	0,45	0,80
0,25	0,5	0,89
0,30	0,54	0,97

Нанасяме върху милиметровата скала точките, които съответстват на $u$ и $x$ :

[2 т.]

Пресмятаме ъгловия коефициент като изберем две точки от построената права:

k = \frac{(0{,}88\ \mathrm{m/s} - 0{,}35\ \mathrm{m/s})}{(0{,}50\ \mathrm{m^{1/2}} - 0{,}20\ \mathrm{m^{1/2}})} \approx 1{,}8\ \mathrm{m^{1/2}s^{-1}},\ \textbf{[1 т.]}

откъдето намираме търсения коефициент $C$ :

C = \frac{k}{\sqrt{g}} \approx 0{,}57.\ \textbf{[1 т.]}

II Метод
От функционалната зависимост $u = C\sqrt{\lambda g}$ , след като логаритмуваме, получаваме:

\lg u = \lg C + \tfrac{1}{2}\lg g + \tfrac{1}{2}\lg\lambda.

Следователно ако използваме като променливи $x = \lg\lambda$ и $y = \lg u$ , зависимостта между $x$ и $y$ е линейна: $y = a + kx$ с ъглов коефициент $k = \tfrac{1}{2}$ и свободен член $a$ . Свободния член определяме от $y$ – координатата на точката, в която графиката пресича ординатната ос. Константата $C$ се пресмята като:

C = 10^{a}/\mathrm{g}^{1/2}.

При този метод на работа може да се използва произволна основа на логаритъма.

Решение на т. а): графика на u(λ) с права u = 5λ, пресичаща експерименталната крива при λ = 12,5 cm.

Решение на т. в): графика на u (m/s) срещу x = √λ (m^1/2) с права през точките от таблицата; пунктир при x≈0,50, u≈0,88.

Оригинал в Архива: proletni_2002_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2002_STsolutions.pdf