Съдържание

НПСФ 2003, Специална тема, друг препис — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2003

НАЦИОНАЛНО ПРОЛЕТНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА — Ковачевци, 21 –23.03.2003 г. — СПЕЦИАЛНА ТЕМА · 21 март 2003 г.

Внимание: Бележка към темата

Някои фрагменти от скана са избеляли/наслоени (особено стр. 2 на задачите и стр. 1, 3 на решенията); точковите разбивки са прочетени внимателно, но на места частично.

Условие

Триенето между повърхностите на реалните тела се характеризира с два коефициента на триене: $\mu_s$ – коефициент на статично триене и $\mu_k$ – коефициент на кинетично триене. Коефициентът на статично триене определя максималната сила на триене между двете тела, когато те са в покой едно спрямо друго: $f_{\max} = \mu_s N$ , където $N$ е силата на нормална реакция. Коефициентът на кинетично триене определя силата на триене, когато телата се хлъзгат едно спрямо друго: $f = \mu_k N$ . По правило $\mu_s > \mu_k$ , т. е. когато телата започнат да се хлъзгат едно спрямо друго силата на триене рязко намалява от $f_{\max}$ до $f$ .

Трупче с маса $m = 2{,}0\ \mathrm{kg}$ е закрепено към пружина с коефициент на еластичност $k = 40\ \mathrm{N/m}$ . Трупчето се намира върху гумена лента, която се движи с постоянна скорост $u = 0{,}5\ \mathrm{m/s}$ . Коефициентът на статично триене между трупчето и лентата е $\mu_s = 0{,}8$ , а коефициентът на кинетично триене – $\mu_k = 0{,}4$ . Приемете, че земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

Схема: пружина, закрепена на стена, свързана с трупче върху лента, която се движи със скорост u; показани са началото 0, началната скорост v0 и оста x надясно.

а) В началния момент пружината е недеформирана ( $x = 0$ ) и на трупчето е придадена начална скорост $v_0 = u$ в посоката на движение на лентата.
• При какво разтягане $x_1$ на пружината трупчето ще започне да се хлъзга спрямо лентата? (2 т)
• Намерете максималното разтягане $x_{\max}$ на пружината? (4 т) [6 т.]

б) Движението на трупчето представлява сложно незатихващо трептене.
• Намерете амплитудата $A$ на трептенето. (3 т)
• Проследете качествено един пълен период на трептенето, като определите какви видове движения извършва трупчето в рамките на периода. Пресметнете периода $T$ на трептенето. (4 т)
• Изобразете графично (качествено) закона за движение на трупчето.(2 т) [9 т.]

Отговори

Решение

Задача 1. а) Тъй като $v_0 = u$ , трупчето е неподвижно спрямо лентата и продължава да се движи равномерно, без хлъзгане, докато $kx \leq f_{\max}$ , където $f_{\max} = \mu_s m g = 16\ \mathrm{N}$ е максималната сила на триене при покой. [1 т]

Хлъзгането започва при $x_1 = \dfrac{\mu_s m g}{k} = 0{,}4\ \mathrm{m}$ . [1 т]

Непосредствено след този момент скоростта на трупчето е $v = u$ , а силата на триене, която му действа намалява до $f = \mu_k m g = 8\ \mathrm{N}$ и е насочена надясно, в положителна посока на оста $x$ . [1 т]

В момента на спиране $v = 0$ и $x = x_{\max}$ . От закона за изменение на енергията следва:

\frac{k x_{\max}^2}{2} = \frac{k x_1^2}{2} + \frac{m u^2}{2} + f(x_{\max} - x_1),

[1 т]

Като вземем предвид израза за $x_1$ получаваме следното квадратно уравнение:

k x_{\max}^2 - 2 f x_{\max} - m u^2 + \frac{2 f_{\max} f - f_{\max}^2}{k} = 0.

Максималното разтягане на пружината (крайното дясно положение на трупчето) се определя от по-големия корен на уравнението:

x_{\max} = \frac{f + \sqrt{k m u^2 + (f_{\max} - f)^2}}{k} \approx 0{,}43\ \mathrm{m}.

[2 т]

б) Докато трае хлъзгането, уравнението на движение на трупчето има вида:

m a = -k x + f = -k\left(x - \frac{f}{k}\right).

[1 т]

Следователно трупчето извършва хармонично трептене около отместено равновесно положение:

x(t) = x_0 + A\cos\left(2\pi\frac{t}{T_0} + \delta_0\right),

[1 т]

където $x_0 = \dfrac{f}{k} = 0{,}20\ \mathrm{m}$ е равновесното положение, $T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} \approx 1{,}40\ \mathrm{s}$ е периодът на едно пълно хармонично трептене и $\delta_0$ е началната фаза.

Амплитудата на трептенето е:

A = |x_{\max} - x_0| = 0{,}23\ \mathrm{m}.

[1 т]

Хлъзгането се преустановява в момента, когато трупчето отново достигне скорост $v = u$ . Това става в точка с координатата $x_2$ , симетрична на точката $x_1$ спрямо равновесното положение $x_0$ :

x_2 = 2 x_0 - x_1 = 0\ \mathrm{m}.

[1 т]

Движението на трупчето от $x_2$ до $x_1$ е равномерно със скорост $u$ . Времето за равномерно движение е:

t_{\mathrm{равн}} = \frac{|x_2 - x_1|}{u} = 0{,}8\ \mathrm{s}.

[1 т]

Времето за хармонично трептене е:

t_{\mathrm{харм}} = T_0/2 + 2\tau,

[0,5 т]

където $\tau$ удовлетворява уравнението $x_1 = x_0 + A\cos\left(2\pi\dfrac{\tau}{T_0}\right)$ . Оттук намираме:

t_{\mathrm{харм}} = \frac{T_0}{2} + \frac{T_0}{\pi}\arccos\left(\frac{x_1 - x_0}{A}\right) \approx 0{,}93\ \mathrm{s}.

[1 т]

Следователно периодът на сложното трептене е:

T = t_{\mathrm{равн}} + t_{\mathrm{харм}} \approx 1{,}73\ \mathrm{s}.

[0,5 т]

Графика $x(t)$: хармонична крива от $X_1=0{,}4$ надолу до минимум под $X_2=0{,}0$, после равномерен растящ участък обратно до $X_1$; по абсцисата са отбелязани $\tau$, $T_0/2$, $\tau$. — Графика на закона за движение на трупчето; отбелязани са хармоничното трептене и равномерното движение, $X_1 = 0{,}4$ , $X_0 = 0{,}2$ , $X_2 = 0{,}0$ .

Оригинал в Архива: spec_zad.pdf · официални решения: spec_resh.pdf