Съдържание

НПСФ 2003, Специална тема, друг препис — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2003

НАЦИОНАЛНО ПРОЛЕТНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА — Ковачевци, 21 –23.03.2003 г. — СПЕЦИАЛНА ТЕМА · 21 март 2003 г.

Внимание: Бележка към темата

Някои фрагменти от скана са избеляли/наслоени (особено стр. 2 на задачите и стр. 1, 3 на решенията); точковите разбивки са прочетени внимателно, но на места частично.

Условие

Свободно движещ се светлинен източник излъчва в посока, сключваща ъгъл $\theta$ , с първоначалната му посока на движение. Лъчението се регистрира от неподвижен приемник. Да се определи честотата $\nu$ , която регистрира приемника, ако е известно, че когато източникът е неподвижно закрепен, излъчва на честота $\nu_0$ . Решете задачата като приложите квантовия модел за светлината в два случая:

а) Източникът с маса $M$ се движи със скорост $v$ много по-малка от скоростта на светлината $c$ . При излъчването на един фотон вътрешната енергия на източника намалява с $h\nu_0$ . Приемете, че импулсът на източника преди излъчването е много по-голям от импулса на излъчения фотон (7 т).

б) Източникът се движи със скорост $v$ сравнима със скоростта на светлината $c$ . Приемете, че $h\nu_0 \ll M c^2$ (8 т).

Отговори

Решение

Задача 4. а) Ще разглеждаме фотона като частица с енергия $h\nu$ и импулс $h\nu/c$ [1 т.] При излъчването на фотона източникът изпитва откат и неговата скорост се променя на $u$ . От закона за запазване на енергията имаме:

\frac{1}{2} M v^2 + E = \frac{1}{2} M u^2 + E' + h\nu.

[1 т]

Законът за запазване на импулса дава:

M v = M u \cos\varphi + \frac{h\nu}{c}\cos\theta,

[1 т]

0 = M u \sin\varphi - \frac{h\nu}{c}\sin\theta.

[1 т]

Тъй като $E - E' = h\nu_0$ , [1 т]

след като изключим $u$ и $\varphi$ получаваме:

2 h M (\nu - \nu_0) - 2 M v \frac{h\nu}{c}\cos\theta + \left(\frac{h\nu}{c}\right)^2 = 0.

[1 т]

Тъй като $M v \gg h\nu/c$ , последното събираемо в лявата страна може да се пренебрегне и тогава получаваме:

\nu = \frac{\nu_0}{1 - \dfrac{v}{c}\cos\theta}.

[1 т]

б) При релативистки скорости:

E = \frac{M c^2}{\sqrt{1 - \beta^2}} \quad \text{и} \quad p = \frac{M v}{\sqrt{1 - \beta^2}},

[1 т]

където $\beta = v/c$ , а $M$ – масата в покой на източника преди излъчване на фотона. След излъчването масата в покой на източника намалява на $M'$ , така че

(M - M')c^2 = h\nu.

[1 т]

От законите за запазване на импулса и енергията имаме:

\frac{M v}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \frac{M' u}{\sqrt{1 - \beta'^2}}\cos\varphi + \frac{h\nu}{c}\cos\theta,

[1 т]

0 = \frac{M' u}{\sqrt{1 - \beta'^2}}\sin\varphi - \frac{h\nu}{c}\sin\theta,

[1 т]

\frac{M c^2}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \frac{M' c^2}{\sqrt{1 - \beta'^2}} + h\nu.

[1 т]

От получената система уравнения и връзката между $M$ и $M'$ намираме:

\frac{M c^2 \nu}{\sqrt{1 - \beta^2}}(1 - \beta\cos\theta) = M c^2 \nu_0 - \frac{h \nu_0^2}{2}.

[1 т]

След като пренебрегнем последното събираемо в дясната страна получаваме:

\nu = \frac{\nu_0\sqrt{1 - \beta^2}}{1 - \beta\cos\theta} = \nu_0\frac{\sqrt{1 - \left(\dfrac{v}{c}\right)^2}}{1 - \dfrac{v}{c}\cos\theta}.

[1 т]

Оригинал в Архива: spec_zad.pdf · официални решения: spec_resh.pdf