Съдържание

НПСФ 2003, Специална тема, друг препис — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2003

НАЦИОНАЛНО ПРОЛЕТНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА — Ковачевци, 21 –23.03.2003 г. — СПЕЦИАЛНА ТЕМА · 21 март 2003 г.

Внимание: Бележка към темата

Някои фрагменти от скана са избеляли/наслоени (особено стр. 2 на задачите и стр. 1, 3 на решенията); точковите разбивки са прочетени внимателно, но на места частично.

Условие

С един mol идеален газ, чийто показател на адиабатата е $\gamma$ , се извършва цикличен процес. Той се състои от изотермно разширение (1-2), изобарно свиване (2-3) и адиабатно свиване (3-1). Началната температура на газа е $T_0$ , а началният му обем – $V_0$ . Максималният обем, който достига газът, е 3 пъти по-голям от началния му обем.

Упътване: Работата, която извършва идеален газ при изотермно разширение от обем $V_{нач}$ до обем $V_{кр}$ е $A = R T \ln(V_{кр}/V_{нач})$ .

а) Начертайте на pV - диаграма графиката на цикличния процес (3 т);

б) Определете минималната температура на газа (4 т);

в) Намерете КПД $\eta$ на топлинния двигател, работещ по описания цикъл. Направете числена оценка за едноатомен идеален газ (6 т);

г) Пресметнете максимално възможния КПД $\eta_{\max}$ на топлинен двигател, работещ при същите минимална и максимална температури, както в описания цикъл. Направете числена оценка за едноатомен идеален газ (2 т).

Отговори

Решение

Задача 3. а) Графиката на цикличния процес е показана на фигурата (по 1 т. за всеки правилно начертан процес).

б) Температурата на газа е минимална в състояние 3 (1 т.). Процесът 1-2 е изотермен и $T_2 = T_0$ . За изобарния процес 2-3:

\frac{V_2}{T_0} = \frac{V_3}{T_3}.

[1 т]

От друга страна процесът 3-1 е адиабатен и

T_3 V_3^{\gamma - 1} = T_0 V_0^{\gamma - 1}.

[1 т]

От горните уравнения получаваме:

T_3 = T_0\left(\frac{V_0}{V_2}\right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}} = 3^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} T_0.

[1 т]

в) По определение:

\eta = 1 - \frac{Q_{отд}}{Q_{пол}}.

[1 т]

Работното вещество получава топлина само при изотермното разширение. Тъй като вътрешната енергия на идеалния газ зависи само от температурата му $U_1 = U_2$ и

Q_{пол} = U_2 - U_1 + A_{12} = R T_0 \ln 3.

[1 т]

Газът отдава топлина при изобарно свиване:

Q_{отд} = c_p(T_2 - T_3) = \frac{\gamma R T_0}{\gamma - 1}\left[1 - \frac{1}{3^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}}\right],

[1 т]

където е използвано съотношението на Майер $c_p = c_V + R$ и определението $\gamma = c_p / c_V$ . Окончателно намираме:

\eta = 1 - \frac{\gamma\left[3^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}} - 1\right]}{(\gamma - 1) 3^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}} \ln 3} \approx 0{,}19.

[2 т]

г) От всички топлинни двигатели работещи между максимална температура $T_{\max} = T_0$ и минимална температура $T_{\min} = 3^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} T_0$ , максимален КПД има двигател, работещ по цикъла на Карно:

\eta_{\max} = 1 - \frac{T_{\min}}{T_{\max}} = 1 - \frac{1}{3^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}} \approx 0{,}36.

[2 т]

pV-диаграма на цикъла: изотерма 1→2 при T0 (от V0, p1 до V2, p2), изобара 2→3 (от V2 до V3 при p2), адиабата 3→1 (от V3, p2 до V0, p1); по абсцисата V0, V3, V2.

Оригинал в Архива: spec_zad.pdf · официални решения: spec_resh.pdf