Съдържание

НПСФ 2004, Специална тема — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2004

Национално пролетно състезание по физика, Велико Търново, 13 – 14 март 2004 г — Специална тема · 13 март 2004 г. · 10 т.

Условие

Собствената честота на пружинно махало е $\nu_0 = 10\ \mathrm{Hz}$ при маса на окаченото топче $m = 0{,}10\ \mathrm{kg}$ .. Под действие на периодична външна сила точката на окачване $O$ на махалото започва да трепти хармонично в хоризонтално направление по закона:

x_O = A_O \sin(2\pi\nu t),

където $x_O$ е отклонението на точката на окачване спрямо равновесното й положение, $A_O = 1\ \mathrm{cm}$ е амплитудата й на трептене, а честотата $\nu$ може да се регулира. След достатъчно дълго време топчето започва да трепти принудено със същата честота $\nu$ като тази на външната сила. Като начало ще разгледаме случая, когато $\nu \neq \nu_0$ и ще пренебрегнем силите на триене и съпротивление.

Топче с надпис m лежи върху хоризонтална линия и е свързано чрез хоризонтална пружина към точка O вдясно; над O е показана двупосочна стрелка с надпис A_O, ν. — Пружинното махало: топче с маса $m$ върху хоризонтална основа, свързано с пружина към точката на окачване $O$ , която се движи с амплитуда $A_O$ и честота $\nu$ .

а) Изразете амплитудата $A$ на принуденото трептене на топчето чрез $A_O$ , $\nu$ и $\nu_0$ . [3,5 т.]

б) Намерете фазовата разлика $\Delta\varphi$ между трептенето на топчето и трептенето на точката на окачване в два случая: $\nu < \nu_0$ и $\nu > \nu_0$ . [1 т.]

в) В какъв интервал от стойности трябва да лежи честотата на външната сила така, че $A > 2A_0$ ? [1,5 т.]

г) Когато $\nu = \nu_0$ , амплитудата на трептене на топчето става толкова голяма, че силите на съпротивление оказват съществено влияние върху неговото движение. Приемете, че върху топчето действа сила на съпротивление, пропорционална на скоростта: $\vec{f} = -r\vec{v}$ , където $r = 0{,}5\ \mathrm{kg/s}$ е коефициент на пропорционалност. Намерете в този случай амплитудата на трептене на топчето и фазовата разлика между трептенето на топчето и трептенето на точката на окачване? [4 т.]

Отговори

Решение

а) Нека отместването на тялото в даден момент е $x(t)$ , а на точката на окачване – $x_O(t)$ , Тогава удължението на пружината в дадения момент е:

\Delta l(t) = x_O(t) - x(t). \qquad [0{,}5\ \text{т}]

От закона на Хук силата, която действа на тялото е:

F_x = k\Delta l(t) = k\,x_O(t) - k\,x(t). \qquad [0{,}5\ \text{т}]

От 2. принцип на Нютон:

(1.1)\qquad ma_x(t) = -\,k\,x(t) + k\,x_O(t). \qquad [0{,}5\ \text{т}]

При хармонично трептене:

(1.2)\qquad a_x(t) = -\,\omega^2 x(t) = -\,4\pi^2\nu^2 x(t), \qquad [0{,}5\ \text{т}]

където $\nu$ е честотата на принуденото трептене. Освен това:

(1.3)\qquad k = 4\pi^2\nu_0^2 m, \qquad [0{,}5\ \text{т}]

където $\nu_0$ е честотата на свободното трептене. От уравнения (1.1) – (1.3) намираме:

(1.4)\qquad x(t) = \frac{\nu_0^2}{\nu_0^2-\nu^2}\,x_O(t). \qquad [0{,}5\ \text{т}]

Оттук следва, че максималното отклонение (амплитудата) на тялото е:

(1.5)\qquad A = \frac{\nu_0^2}{\left|\nu_0^2-\nu^2\right|}\,A_O. \qquad [0{,}5\ \text{т}]

б) От уравнение (1.4) следва, че когато $\nu < \nu_0$ , знаменателят е положителен и:

x(t) = A\sin(2\pi\nu t),

т.е. $\Delta\varphi = 0$ . $[0{,}5\ \text{т}]$

Когато $\nu > \nu_0$ , знаменателят в уравнение (1.4) е отрицателен и следователно:

x(t) = -\,A\sin(2\pi\nu t) = A\sin(2\pi\nu t + \pi).

В този случай фазовото отместване между трептенията на тялото и на точката на окачване е $\Delta\varphi = \pi$ . $[0{,}5\ \text{т}]$

в) Според уравнение (1.5) условието $A > 2A_0$ е еквивалентно на следните две неравенства.

\left|\begin{array}{l}\nu_0^2 > 2(\nu^2-\nu_0^2)\\[2pt] \nu_0^2 > 2(\nu_0^2-\nu^2)\end{array}\right. \qquad [1\ \text{т}]

Оттук намираме:

\nu_0/\sqrt{2} < \nu < \nu_0\sqrt{3/2}

или $7{,}07\ \mathrm{Hz} < \nu < 12{,}25\ \mathrm{Hz}$ . $[0{,}5\ \text{т}]$

г) Записваме втория принцип на Нютон при като отчитаме силата на триене:

ma_x(t) = -\,k\,x(t) + k\,x_O(t) - rv. \qquad [0{,}5\ \text{т}]

При принудено трептене с честота $\nu_0$ е в сила съотношението:

ma_x = -\,m(2\pi\nu_0)^2 x = -kx, \qquad [0{,}5\ \text{т}]

което ни помага да определим закона за скоростта:

v(t) = \frac{k x_O(t)}{r} = \frac{m(2\pi\nu_0)^2 A_O \sin(2\pi\nu_0 t)}{r} \qquad [1\ \text{т}]

От закона за скоростта намираме закона за движение:

x(t) = \int v(t)\,dt = -\,\frac{2\pi\nu_0 m A_O}{r}\cos(2\pi\nu_0 t) = \frac{2\pi\nu_0 m A_O}{r}\sin\!\left(2\pi\nu_0 t - \frac{\pi}{2}\right). \qquad [1\ \text{т}]

Оттук следва, че при резонанс амплитудата на трептене на топчето е:

A = \frac{2\pi\nu_0 m A_O}{r} \approx 12{,}6\ \mathrm{cm}, \qquad [0{,}5\ \text{т}]

а фазовата разлика между трептенията на топчето и на точката на окачване:

\Delta\varphi = \pi/2. \qquad [0{,}5\ \text{т}]

Оригинал в Архива: proletni_2004_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2004_STsolutions.pdf