Съдържание

НПСФ 2006, 10. клас — Задача 2. Трупче върху клин, движещ се с ускорение

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2006

Национално пролетно състезание по физика 2006, Пловдив — тема за 10. клас · 17 март 2006 г. · 10 т.

Условие

Трупче е поставено върху наклонената повърхност на един клин. Тази повърхност сключва ъгъл $\beta$ с хоризонталата. Клинът се движи с ускорение $a$ върху хоризонтална равнина. Ускорението е насочено към върха на клина като първоначално трупчето е неподвижно спрямо клина. Коефициентът на триене при хлъзгане между трупчето и клина е $k$ . Приемете, че $k$ има такава стойност, че за определен интервал от ускорения трупчето може да остане неподвижно спрямо клина. Намерете:

а) минималното ускорение $a_{\min}$ , при което трупчето е неподвижно спрямо клина [3 т.]

б) максмалното ускорение $a_{\max}$ , при което трупчето е неподвижно спрямо клина [3 т.]

в) ако $\beta = 45\ ^0$ , $k = 1/2$ , а земното ускорение е $g$ , изчислете $a_{\min}$ [1 т] и $a_{\max}$ [1 т] [2 т.]

г) ако $k$ има такава стойност, че трупчето остава неподвижно спрямо клина при произволни стойности на ускорението $a$ , намерете какви стойности може да приема $k$ [2 т.]

Отговори

Решение

а) След като съществува минимално ускорение, при което трупчето остава неподвижно следва, че в частен случай – ускорение нула, трупчето трябва да се хлъзга и естествено то ще се хлъзга надолу. Следователно силата на триене ще е насочена нагоре, което трябва да е вярно и при ускорение $a_{\min}$ и малко по-голямо от него. В този случай посоката и големината на силите съответстват на Фиг. 1а. Разлагайки ги в координатна система с оси $x$ и $y$ (виж Фиг. 1а) и отчитайки, че трупчето се движи с ускорение $a$ надясно, трябва да са изпълнени следните равенства и неравенства:

R\cos\beta + F_{тр}\sin\beta = mg \quad \text{(равенство на проекциите на силите по } y) \qquad (2.1)

R\sin\beta - F_{тр}\cos\beta = ma \quad \text{(II принцип на Нютон, приложен по } x) \qquad (2.2)

F_{тр} \le kR \quad \text{(условие за големина на силата на триене при покой)} \qquad (2.3)

(за (2.1), (2.2) и (2.3) по [0,5 т])

Изразявайки $F_{тр}$ в (2.1) и (2.2) и използвайки (2.3), получаваме

F_{тр} = \frac{mg}{\sin\beta} - \frac{R\cos\beta}{\sin\beta} \le kR \qquad (2.4)

F_{тр} = -\frac{ma}{\cos\beta} + \frac{R\sin\beta}{\cos\beta} \le kR \qquad (2.5)

(2.4) и (2.5) могат да се преобразуват съответно до

R(\cos\beta + k\sin\beta) \ge mg \qquad (2.6)

R(\sin\beta - k\cos\beta) \le ma \qquad (2.7)

Обединявайки двете неравенства, получаваме

\frac{ma}{\sin\beta - k\cos\beta} \ge R \ge \frac{mg}{\cos\beta + k\sin\beta} \qquad (2.8)

От (2.8) за $a$ получаваме

a \ge g\,\frac{\sin\beta - k\cos\beta}{k\sin\beta + \cos\beta} \qquad (2.9)

Следователно

a_{\min} = g\,\frac{\sin\beta - k\cos\beta}{k\sin\beta + \cos\beta} \qquad \textbf{[1,5 т]} \qquad (2.10)

б) След като съществува максимално ускорение, при което трупчето остава неподвижно следва, че в частен случай – много голямо ускорение (безкрайност), трупчето трябва да се хлъзга и то ще се хлъзга нагоре. Следователно силата на триене ще е насочена надолу, което трябва да е вярно и при ускорение $a_{\max}$ и малко по-малко от него. В този случай посоката и големината на силите съответстват на Фиг. 1б. Разлагайки ги в координатна система с оси $x$ и $y$ (виж Фиг. 1б) и отчитайки, че трупчето се движи с ускорение $a$ надясно, трябва да са изпълнени следните равенства и неравенства:

R\cos\beta - F_{тр}\sin\beta = mg \quad \text{(равенство на проекциите на силите по } y) \qquad (2.11)

Две схеми на клин с наклон β върху хоризонтална ос x; на всяка са означени нормалната реакция R, силата на триене F_тр, теглото mg и ускорението a на клина. — Фиг. 1а (сила на триене нагоре, случаят $a_{\min}$ ) и Фиг. 1б (сила на триене надолу, случаят $a_{\max}$ ).

R\sin\beta + F_{тр}\cos\beta = ma \quad \text{(II принцип на Нютон, приложен по } x) \qquad (2.12)

F_{тр} \le kR \quad \text{(условие за големина на силата на триене при покой)} \qquad (2.13)

(за (2.11), (2.12) и (2.13) по [0,5 т])

Изразявайки $F_{тр}$ в (2.11) и (2.12) и използвайки (2.13), получаваме

F_{тр} = -\frac{mg}{\sin\beta} + \frac{R\cos\beta}{\sin\beta} \le kR \qquad (2.14)

F_{тр} = \frac{ma}{\cos\beta} - \frac{R\sin\beta}{\cos\beta} \le kR \qquad (2.15)

(2.14) и (2.15) могат да се преобразуват съответно до

R(\cos\beta - k\sin\beta) \le mg \qquad (2.16)

R(\sin\beta + k\cos\beta) \ge ma \qquad (2.17)

Обединявайки двете неравенства, получаваме

\frac{ma}{\sin\beta + k\cos\beta} \le R \le \frac{mg}{\cos\beta - k\sin\beta} \qquad (2.18)

От (2.18) за $a$ получаваме

a \le g\,\frac{\sin\beta + k\cos\beta}{-k\sin\beta + \cos\beta},\ \text{следователно} \qquad (2.19)

a_{\max} = g\,\frac{\sin\beta + k\cos\beta}{-k\sin\beta + \cos\beta} \qquad \textbf{[1,5 т]} \qquad (2.20)

в) Ако $\beta = 45\ ^0$ и $k = 1/2$ , то замествайки в (2.10) и (2.20) се получава

a_{\min} = g\,\frac{\dfrac{\sqrt2}{2} - \dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt2}{2}}{\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt2}{2} + \dfrac{\sqrt2}{2}} = \frac{g}{3} \qquad \textbf{[1 т]} \qquad (2.21)

a_{\max} = g\,\frac{\dfrac{\sqrt2}{2} + \dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt2}{2}}{-\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt2}{2} + \dfrac{\sqrt2}{2}} = 3g \qquad \textbf{[1 т]} \qquad (2.22)

г) От (2.10) се вижда, че $a_{\min} = 0$ , когато $k = \operatorname{tg}\beta$ . Следователно при по-голям коефициент на триене от тази стойност, при произволно малко ускорение трупчето ще е неподвижно [0,5 т]. От (2.20) се вижда, че $a_{\max} = \infty$ , когато $k = \operatorname{cotg}\beta$ . Следователно при по-голям коефициент на триене от тази стойност, при произволно голямо ускорение трупчето ще е неподвижно [0,5 т]. Следователно за да остава трупчето неподвижно спрямо клина при произволни стойности на ускорението $a$ , трябва $k$ да е по-голямо и от $\operatorname{tg}\beta$ , и от $\operatorname{cotg}\beta$ [1 т].

Оригинал в Архива: proletni_2006_10problems.pdf · официални решения: proletni_2006_10solutions.pdf