НПСФ 2007, 11–12 клас — Задача 2. Неизвестна леща

• а) $a_{1,2} = f\dfrac{k_{1,2}+1}{k_{1,2}},\qquad b_{1,2} = f\left(k_{1,2}+1\right)$

• б) $k_1 = \sqrt{\dfrac{N(x+d)}{x}} = \dfrac{11}{2} = 5{,}5,\qquad k_2 = \sqrt{\dfrac{x+d}{Nx}} = \dfrac{11}{4} = 2{,}75$

• в) $f = \dfrac{x+d}{k_1-k_2} = 44\ \mathrm{cm}$

• г) $a_1 = f\dfrac{k_1+1}{k_1} = 52\ \mathrm{cm},\qquad b_1 = f(k_1+1) = 286\ \mathrm{cm}$

  $a_1 = 52$ cm, $b_1 = 286$ cm.

а) основната формула за сферичната леща (при първоначални разстояния източник-леща и образ-леща съответно $a_1$ и $b_1$) е

$(2.1)\qquad \dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{b_1} = \dfrac{1}{f}$ [0,5 т]

Увеличението на лещата $k_1$ е свързано с $a_1$ и $b_1$ така:

$(2.2)\qquad k_1 = \dfrac{b_1}{a_1}$ [0,5 т]

От тези две уравнения можем да получим

$(2.3)\qquad a_1 = f\dfrac{k_1+1}{k_1}$ [1 т]

$(2.4)\qquad b_1 = f\left(k_1+1\right)$ [1 т]

Формулите (2.3) и (2.4) важат и за екрана и лещата във второто положение:

$(2.5)\qquad a_2 = f\dfrac{k_2+1}{k_2}$

$(2.6)\qquad b_2 = f\left(k_2+1\right)$

б) за да се намали увеличението, екранът трябва да се премести в посока на лещата [0,5 т]. За да се фокусира наново образът, лещата да се премести в посока на екрана [0,5 т]. Тогава

$(2.7)\qquad a_1 - a_2 = x$ [0,5 т]

$(2.8)\qquad b_1 - b_2 = x + d$ [0,5 т]

Замествайки (2.3) – (2.6) в (2.7) и (2.8) получаваме

$(2.9)\qquad f\dfrac{k_1-k_2}{k_1k_2} = x$

$(2.10)\qquad f\left(k_1-k_2\right) = x + d$

Замествайки (2.10) в (2.9)

$(2.11)\qquad \dfrac{x+d}{k_1k_2} = x$ [0,5 т]

От друга страна отношението на увеличенията е

$(2.12)\qquad \dfrac{k_1}{k_2} = N$ [0,5 т]

(2.11) и (2.12) са две уравнения за двете неизвестни $k_1$ и $k_2$. Чрез тяхното делене и умножение едно на/с друго съответно получаваме

$(2.13)\qquad k_1 = \sqrt{\dfrac{N(x+d)}{x}} = \sqrt{\dfrac{2(8+113)}{8}} = \dfrac{11}{2}$ [0,5 т]

$(2.14)\qquad k_2 = \sqrt{\dfrac{x+d}{Nx}} = \sqrt{\dfrac{8+113}{2.8}} = \dfrac{11}{4}$ [0,5 т]

в) фокусното разстояние $f$ на лещата намираме от (2.10)

$(2.15)\qquad f = \dfrac{x+d}{k_1-k_2} = \dfrac{(8+113)\,\mathrm{cm}}{\dfrac{11}{2}-\dfrac{11}{4}} = 44\,\mathrm{cm}$ [1 т]

г) първоначалните разстояния източник-леща $a_1$ и образ-леща $b_1$ намираме съответно от (2.3) и (2.4):

$(2.16)\qquad a_1 = f\dfrac{k_1+1}{k_1} = 44\,\mathrm{cm}\,\dfrac{\dfrac{11}{2}+1}{\dfrac{11}{2}} = 52\,\mathrm{cm}$ [1 т]

$(2.17)\qquad b_1 = f\left(k_1+1\right) = 44\,\mathrm{cm}\left(\dfrac{11}{2}+1\right) = 286\,\mathrm{cm}$ [1 т]