НПСФ 2007, 11–12 клас — Задача 3. Водородоподобни йони

• а) $v = \sqrt{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Ze^2}{mr}}$

• б) $p = mv = \sqrt{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Ze^2m}{r}}$

• в) $\lambda = \dfrac{h}{p} = \sqrt{\dfrac{4\pi\varepsilon_0h^2r}{Ze^2m}}$

• г) $r_n = \dfrac{\varepsilon_0h^2n^2}{\pi Ze^2m}$

• д) $E(n) = -\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Ze^2}{r_n} = -\dfrac{Z^2e^4m}{8\varepsilon_0^{\,2}h^2}\dfrac{1}{n^2}$

• е) $\lambda_{k,n} = \dfrac{hc}{E(k)-E(n)} = \dfrac{8\varepsilon_0^{\,2}h^3c}{Z^2e^4m}\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{k^2}\right)},\qquad Z = 2$

• ж) $\lambda_{\min} = \dfrac{8\varepsilon_0^{\,2}h^3c}{Z^2e^4m} = 22{,}8.10^{-9}\ \mathrm{m} = 22{,}8\ \mathrm{nm}$

  Преход между състояния с квантови числа $k = \infty$ и $n = 1$.

а) Когато електрон с маса $m$ и заряд $-e$ обикаля по кръгова орбита с радиус $r$ около ядро със заряд $Ze$, Кулоновата сила е центростремителна сила:

$(3.1)\qquad \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Ze.e}{r^2} = \dfrac{mv^2}{r}$ , откъдето

$(3.2)\qquad v = \sqrt{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Ze^2}{mr}}$ [1 т]

б) импулса $p$ на електрона е

$(3.3)\qquad p = mv = \sqrt{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Ze^2m}{r}}$ [1 т]

в) дължината на вълната $\lambda$ на дьо Бройл на електрона е

$(3.4)\qquad \lambda = \dfrac{h}{p} = \sqrt{\dfrac{4\pi\varepsilon_0h^2r}{Ze^2m}}$ [1 т]

г) от даденото условие за квантуване следва

$(3.5)\qquad 2\pi r_n = n\lambda_n = n\sqrt{\dfrac{4\pi\varepsilon_0h^2r_n}{Ze^2m}}$ , откъдето

$(3.6)\qquad r_n = \dfrac{\varepsilon_0h^2n^2}{\pi Ze^2m}$ [1 т]

д) енергията $E(n)$ на електрона в състоянието му, описвано с числото $n$, е равна на сумата от неговата кинетична и потенциална енергия:

$(3.7)\qquad E(n) = E_{\mathrm{кин}} + E_{\mathrm{пот}} = \dfrac{mv(r_n)^2}{2} - \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Ze.e}{r_n}$ [1 т]

Използвайки (3.2) и (3.6) се получава

$(3.8)\qquad E(n) = -\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Ze^2}{r_n} = -\dfrac{Z^2e^4m}{8\varepsilon_0^{\,2}h^2}\dfrac{1}{n^2}$ [1 т]

е) дължината $\lambda_{m,n}$ на вълната на фотон, излъчен от йон He$^+$ при преход на електрон в него от състояние $k$ в състояние $n$ е равна на (за He$^+$ $Z = 2$ [1 т]):

$(3.9)\qquad \lambda_{m,n} = \dfrac{c}{\nu_{m,n}} = \dfrac{hc}{E(k)-E(n)} = \dfrac{8\varepsilon_0^{\,2}h^3c}{Z^2e^4m}\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{k^2}\right)}$ [1 т]

ж) минималната дължина на вълната $\lambda_{\min}$ на фотон, излъчен от йон He$^+$ като резултат от електронен преход е между състояния с квантови числа $k = \infty$ и $n = 1$ [1 т]. Замествайки с дадените стойности, се получава

$\lambda_{m,n} = \dfrac{8\left(8{,}854.10^{-12}\,\mathrm{F/m}\right)^2\left(6{,}626.10^{-34}\,\mathrm{J.s}\right)^3\left(2{,}998.10^{8}\,\mathrm{m/s}\right)}{2^2\left(1{,}602.10^{-19}\,\mathrm{C}\right)^4\left(9{,}110.10^{-31}\,\mathrm{kg}\right)}\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{1^2}-\dfrac{1}{\infty^2}\right)} =$

$= 22{,}8\,.10^{-9}\ \mathrm{m} = 22{,}8\ \mathrm{nm}$ [1 т]