Съдържание

НПСФ 2007, Специална тема — Задача 2. Двоен удар

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2007

Национално пролетно състезание по физика, Сливен, 16 – 18 март 2007 г. — Специална тема · 16 март 2007 г. · 10 т.

Условие

Тънка еднородна пръчка с дължина $l = 0{,}1$ m се движи постъпателно със скорост $v_0 = 5$ m/s, насочена перпендикулярно на плоска стена. Оста на пръчката сключва ъгъл $\alpha$ с равнината на стената (фиг.2).

Пръчката се удря в стената. Триенето между пръчката и стената по време на удара се пренебрегва. Продължителността на удара е толкова малка, че завъртането и преместването на пръчката по време на удара са несъществени.

Вертикална защрихована стена вляво. Наклонена тънка пръчка пресича хоризонталната ос $X$, която сочи надясно; ъгълът между пръчката и стената, отчетен горе вляво, е означен с $\alpha$. Пунктирана линия продължава оста на пръчката надолу-надясно. Дебела стрелка по хоризонталната ос сочи наляво към стената и е означена с $v_0$. — Фиг. 2

а) Нека $v_x$ е $x$ -компонентата на скоростта на центъра на пръчката след удара, а $\omega$ - ъгловата ѝ скорост. Докажете, че:

v_x + v_0 = k\omega

и изразете константата $k$ чрез $l$ и $\alpha$ . [4,5 т.]

б) Ако приемете, че ударът е идеално еластичен, изразете $v_x$ и $\omega$ чрез $v_0$ , $l$ и $\alpha$ . [3 т.]

в) Намерете ъгъла $\alpha_0$ , при който след идеално еластичен удар, центърът на пръчката ще бъде неподвижен. [0,5 т.]

г) При $\alpha = \alpha_0$ пресметнете времето $t$ , за което след първия удар, пръчката ще се удари втори път в стената.

Упътване. Инерчният момент на пръчка спрямо ос, минаваща през нейния център, е $I = \frac{1}{12}ml^{2}$ [2 т.]

Отговори

Решение

а) По време на удара на пръчката действа сила на реакция $F(t)$ , насочена перпендикулярно на стената. Под нейно действие $x$ -компонентата на импулса на пръчката се изменя по време на удара с:

(1)\qquad \Delta p_x = \int F(t)dt \equiv J,\qquad [0{,}5\ \text{т}]

където с $J$ е означен импулсът на силата. Компонентата на импулсът преди удара е:

(2)\qquad p_{0x} = -mv_0,\qquad [0{,}5\ \text{т}]

а след удара –

(3)\qquad p_x = mv_x.\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Следователно:

(4)\qquad m(v_x + v_0) = J.\qquad [0{,}5\ \text{т}]

По време на удара силата на реакция създава въртящ момент спрямо центъра на пръчката:

(5)\qquad M(t) = F(t)\frac{l}{2}\cos\alpha.\qquad [0{,}5\ \text{т}]

който води до промяна на момента на импулса на пръчката:

(6)\qquad \Delta L = \int M(t)dt = \frac{l}{2}\cos\alpha\int F(t)dt = \frac{Jl\cos\alpha}{2}.\qquad [0{,}5\ \text{т}]

При извода на второто равенство сме отчели, че ъгълът $\alpha$ практически не се променя по време на удара. Понеже началният момент на импулса е нулев, уравнение (6) приема вида:

(7)\qquad \frac{1}{12}ml^{2}\omega = \frac{Jl\cos\alpha}{2}.\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Като заместим израза за $J$ от уравнение (4), намираме окончателно:

(8)\qquad v_x + v_0 = \frac{l}{6\cos\alpha}\,\omega.\qquad [1\ \text{т}]

б) Понеже ударът е идеално еластичен, механичната енергия на пръчката се запазва:

(9)\qquad \frac{mv_0^{2}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{12}ml^{2}\right)\omega^{2} - \frac{mv_x^{2}}{2}.\qquad [1\ \text{т}]

(Знакът минус е отпечатан така в оригинала; законът за запазване на енергията и следващият израз (10) изискват плюс.)

След групиране на членовете в уравнението, получаваме:

(10)\qquad \left(v_0^{2}-v_x^{2}\right) = \frac{l^{2}\omega^{2}}{12}.

Разделяме почленно уравнение (10) на уравнение (8) и намираме:

(11)\qquad v_0 - v_x = \frac{l\cos\alpha}{2}\,\omega.

След решаване на системата уравнения (8) и (11) получаваме изрази за скоростта и ъгловата скорост след удара:

(12)\qquad v_x = v_0\,\frac{1-3\cos^{2}\alpha}{1+3\cos^{2}\alpha}\qquad [1\ \text{т}]

(13)\qquad \omega = \frac{12v_0\cos\alpha}{l(1+3\cos^{2}\alpha)}.\qquad [1\ \text{т}]

в) Центърът на пръчката е неподвижен след удара, ако $\cos\alpha = 1/\sqrt{3}$ при, т.е. при ъгъл:

(14)\qquad \alpha = \arccos\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 0{,}955\ \text{rad}\ (54{,}7^{\circ}).\qquad [0{,}5\ \text{т}]

г) При $\alpha = \alpha_0$ след първия удар пръчката се върти около неподвижния си център с ъглова скорост:

(15)\qquad \omega = \frac{2\sqrt{3}v_0}{l}.\qquad [0{,}5\ \text{т}]

В момента на втория удар пръчката сключва със стената ъгъл $\alpha_0$ . Следователно между двата удара пръчката се завърта на ъгъл:

(16)\qquad \varphi = 2\alpha_0.\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Времето между двата удара е:

(17)\qquad t = \frac{\varphi}{\omega} = \frac{l\alpha_0}{v_0\sqrt{3}} = 1{,}10\cdot10^{-2}\ \text{s}.\qquad [1\ \text{т}]

Защрихована вертикална стена вляво и хоризонтална ос $X$ надясно. Две наклонени положения на пръчката се пресичат близо до стената, образувайки помежду си ъгъл, означен $\varphi = 2\alpha$; всяко от тях сключва със стената ъгъл $\alpha$ (означен горе и долу). Хоризонтална стрелка $\mathbf{F}$ сочи надясно от стената, а дебела стрелка $v_0$ по оста сочи наляво. — Към решението на Задача 2: положенията на пръчката при първия и при втория удар; между тях тя се завърта на ъгъл $\varphi = 2\alpha$

Оригинал в Архива: proletni_2007_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2007_STsolutions.pdf