Съдържание

НПСФ 2008, 11–12 клас — Задача 3. Събирателна леща

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2008

Национално пролетно състезание по физика 2008, Търговище — тема за 11 - 12 клас · 14 март 2008 г. · 10 т.

Условие

Подвижна леща с фокусно разстояние F = 16 cm дава рязко изображение на неподвижен предмет върху неподвижен екран при две нейни положения 1 и 2. Разстоянието между тези две положения на лещата е l = 60 cm.

1) Направете подходящ чертеж [1 т.];

2) Определете разстоянието L от предмета до екрана [6 т.];

3) Определете разстоянията ( $a_1$ и $a_2$ ) между предмета и лещата в двата случая [2 т.];

4) Определете отношението W между размерите на образите в двата случая [1 т.].

Отговори

Решение

1) Примерен чертеж [1 т.] — Фигура 3а.

Оптична схема: предмет с височина h вляво, екран вдясно на разстояние L; лещата е показана в две положения, отдалечени на l, с построени лъчи и получените образи h1 и h2. — Фигура 3а. Ходът на лъчите при двете положения на лещата; означени са $a_1$ , $b_1$ , $a_2$ , $b_2$ , $l$ , $L$ , предметът $h$ и образите $h_1$ и $h_2$ .

2) Формулиране на следната система, свързваща търсените и известните величини: [2 т.]

\frac{1}{a_1} + \frac{1}{b_1} = \frac{1}{f}; \qquad \frac{1}{a_2} + \frac{1}{b_2} = \frac{1}{f};

a_1 + b_1 = L; \qquad a_2 + b_2 = L; \qquad a_2 - a_1 = l.

Примерно решение на горната система [4 т.]:

Изразяване на $a_1, b_1, b_2$ чрез $L, a_2$ :

a_1 = a_2 - l, \qquad b_1 = L - a_1 = L - a_2 + l, \qquad b_2 = L - a_2.

Заместване на $a_1, b_1, b_2$ в първите две равенства от горната система:

\frac{1}{a_2 - l} + \frac{1}{L - a_2 + l} = \frac{1}{f}; \qquad \frac{1}{a_2} + \frac{1}{L - a_2} = \frac{1}{f}.

Привеждане под общ знаменател:

\frac{L}{(a_2-l)(L-a_2+l)} = \frac{1}{f}; \qquad \frac{L}{a_2(L-a_2)} = \frac{1}{f} \qquad (1)

От двете равенства изразяваме $a_2$ чрез $L$ :

(a_2 - l)(L - a_2 + l) = a_2(L - a_2), \qquad a_2 = \frac{L+l}{2}.

Заместваме последния израз за $a_2$ в равенство (1):

\frac{2L}{(L+l)\left(L - \dfrac{L}{2} - \dfrac{l}{2}\right)} = \frac{1}{f}, \qquad \frac{4L}{L^2 - l^2} = \frac{1}{f}, \qquad L^2 - 4Lf - l^2 = 0.

Решение на последното квадратно уравнение:

L = 2f \pm \sqrt{4f^2 + l^2}.

Физически смисъл $(L > 0)$ има решението със знак „+“: $L = 100\,\mathrm{cm}$ .

3) Определяне на разстоянията ( $a_1$ и $a_2$ ) между предмета и лещата в двата случая:

a_2 = \frac{L+l}{2} = 80\,\mathrm{cm}. \quad \textbf{[1 т.]}

a_1 = a_2 - l = 20\,\mathrm{cm}. \quad \textbf{[1 т.]}

4) Определяне на отношението W между размерите на образите в двата случая [1 т.]

От свойствата на подобните триъгълници:

\frac{h_1}{b_1} = \frac{h}{a_1}, \qquad \frac{h_2}{b_2} = \frac{h}{a_2}.

b_1 = L - a_1 = 80\,\mathrm{cm}, \qquad b_2 = L - a_2 = 20\,\mathrm{cm}

W = \frac{b_1}{a_1}\frac{a_2}{b_2} = 16.

Оригинал в Архива: proletni_2008_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2008_11-12solutions.pdf