НПСФ 2008, 9. клас — Задача 1. Снимки на топче

• а) $t = \frac{1}{2}\ \mathrm{s}$ ≈ $0.5$ s

  Положителният корен на $t^2 + t - 3/4 = 0$.

• б) $v_0 = 10\ \mathrm{m/s}$

• в) $v_1 = v_0 - gt = 10 - 10\cdot\frac{1}{2} = 5\ \mathrm{m/s}$

• г) $v_2 = 10 - 10\cdot 1 = 0\ \mathrm{m/s}$

• д) $t_{\mathrm{полет}} = 1\ \mathrm{s} + 1\ \mathrm{s} = 2\ \mathrm{s}$

а) От закона за пътя при равнозакъснително движение следва: $x_1 = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$ [0.5 т], $x_2 = v_0(t+T) - \frac{1}{2}g(t+T)^2$ [1 т].

Замествайки $v_0$ от първото уравнение във второто се получава: $x_2 = \dfrac{x_1 + \frac{1}{2}gt^2}{t}(t+T) - \frac{1}{2}g(t+T)^2$ [0.5 т].

Опростявайки това уравнение се достига до квадратно уравнение за $t$: $\frac{1}{2}gTt^2 + \left(x_2 - x_1 + \frac{1}{2}gT^2\right)t - x_1T = 0$ [1 т].

Замествайки с дадените стойности на физичните величини, уравнението изглежда така: $t^2 + t - \frac{3}{4} = 0$ [1 т].

Само единият корен на това уравнение е положителен и равен на $t = \frac{1}{2}$ s [1 т].

б) Замествайки със получената стойност на $t$ и дадените стойности на $x_1$ и $g$ в закона за пътя за положението на втората снимка се получава: $5 = v_0.1 - \frac{1}{2}10.1^2$ [1 т], откъдето $v_0 = 10$ m/s [1 т].

в) скоростта $v_1$ на топчето в момента на първото снимане се намира от закона за скоростта: $v_1 = v_0 - gt$ [0.5 т]. Замествайки с дадените и получените стойности $v_1 = 10 - 10.\frac{1}{2} = 5$ m/s [0.5 т].

г) аналогично на предното подусловие $v_2 = 10 - 10.1 = 0$ m/s [1 т].

д) Тъй като по време на втората снимка топчето е било в най-горно положение, а времената за издигане и падане на тялото са равни, то времето, когато топчето ще се върне в мястото на хвърляне е $t_{\mathrm{полет}} = 1\mathrm{s} + 1\mathrm{s} = 2\mathrm{s}$ [1 т].