Съдържание

НПСФ 2008, 10. клас — Задача 3. Ехо между подводници

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2008

14 март 2008 г. · 10 т.

Условие

Две подводници се намират на разстояние $L=3\,\mathrm{km}$ една от друга и са потопени на една и съща дълбочина $h=300\,\mathrm{m}$ в морето, което е дълбоко $H=1\,\mathrm{km}$ на това място. От едната подводница изпращат звуков импулс към другата, който след като се отрази от втората подводница се разпространява във всички посоки. От първата подводница засичат отразени сигнала през различен интервал от време. Скоростта на звука във водата е $u_1=1500\,\mathrm{m/s}$ , а в скалите, които образуват плоско дъно – $u_2=4500\,\mathrm{m/s}$ .

а) Засечени са сигнали след времена $3{,}55\,\mathrm{s}$ ; $4{,}00\,\mathrm{s}$ ; $4{,}04\,\mathrm{s}$ и $4{,}21\,\mathrm{s}$ . Определете пътищата, по които се връща отразения звук, и на кой път кое време съответства. (Разгледайте само пътища с еднократно отражение или двукратно пречупване от разделителна повърхност. При преминаване на звукова вълна от една среда в друга е в сила закона на Снелиус $\sin(\alpha_1)/\sin(\alpha_2)=u_1/u_2$ .) [8 т.]

б) Когато дълбочината на потапяне е точно половината от дълбочината на морето, сигналите остават само два. Обяснете това явление (скоростта на звука във въздух е $330\,\mathrm{m/s}$ ). [2 т.]

Решение

Четири пътя на звуковия сигнал между подводниците: директен, отражения от повърхността и дъното, пречупване през скалата.

а)

Отразеният от втората подводница сигнал може да достигне до първата подводница по четири начина:

1). По същият път, по който е пристигнал и импулса (1). Тогава разстоянието, което ще измине звукът е $2L=6000\,\mathrm{m}$ и времето ще бъде $t_1=6000/1500=4\,\mathrm{s}$ . [1 т.]

2). Чрез отражение от разделителната повърхност вода-въздух (2). При това ъгълът на падане е равен на ъгъла на отражение. От чертежа се вижда, че този път ще бъде

2\sqrt{\left(\frac L2\right)^2+h^2}=3059\,\mathrm{m},

а съответното време ще бъде $t_2=6059/1500=4{,}04\,\mathrm{s}$ . [1 т.]

3). Чрез отражение от разделителната повърхност вода-скала (3). При това ъгълът на падане е равен на ъгъла на отражение. Пътят на отразения импулс ще бъде

2\sqrt{\left(\frac L2\right)^2+(H-h)^2}=3311\,\mathrm{m},

а времето – $t_3=6311/1500=4{,}21\,\mathrm{s}$ . [1 т.]

4). Отразеният сигнал може да достигне през водата до скалното дъно, да проникне в него, да се разпространи успоредно на дъното и след това чрез пречупване да премине във водата и да достигне първата подводница (4). За тази цел е необходимо ъгълът на падане $\alpha_1$ да е близък до ъгъла на пълно вътрешно отражение (т.е. $\sin(\alpha_2)=1$ ). [1 т.]

Използвайки закона на Снелиус, получаваме $\sin(\alpha_1)=u_1/u_2$ . Нека означим с $2d$ пътя във водата, а с $D$ – пътят през скалата. Имаме

\frac{L-D}{2d}=\sin(\alpha_1)=\frac{u_1}{u_2}\quad\text{[1 т.]}\quad\text{и}\quad\frac{H-h}{d}=\cos(\alpha_1)=\sqrt{1-\sin^2(\alpha_1)}=\sqrt{\frac{u_2^2-u_1^2}{u_2^2}}\quad\text{[1 т.]}

откъдето намираме $d=742\,\mathrm{m}$ и $D=2505\,\mathrm{m}$ . [1 т.]

Съответното време намираме като време за разпространение на импулсът във водата и време за разпространение в скалата.

t_4=\frac{L+2d}{u_1}+\frac{D}{u_2}\quad\text{или}\quad t_4=2{,}99+0{,}56=3{,}55\,\mathrm{s}\quad\text{[1 т.]}

б)

Когато $h=H/2$ , пътищата 2 и 3 стават равни. Но сигналът, който се отразява от по-плътна среда, търпи промяна във фазата, [1 т.] което е еквивалентно на добавяне на път $\lambda/2$ , което ще доведе до взаимно гасене вследствие на интерференцията на сигналите, получени при отражение от водната повърхност и от дъното [1 т.]. Ще останат само сигналите дължащи се на пътища 1 и 4.

Оригинал в Архива: proletni_2008_10problems.jpg · официални решения: 10_resh1.jpg · допълнителни данни: 10_resh2.jpg · допълнителни данни: 10_resh3.jpg