Съдържание

НПСФ 2009, 11–12 клас — Задача 3. Материални вълни

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2009

Национално пролетно състезание по физика 2009, Велинград — Тема 11.-12. клас · 28 февруари 2009 г. · 10 т.

Условие

Микрочастиците могат да бъдат описвани както като материални частици ( с импулс p и енергия E ), така и като вълни с дължина на вълната $\lambda = h/p$ , където $h$ е константата на Планк.

а) Нека успореден сноп електрони с кинетична енергия $E$ попада в метал с отделителна работа $A$ . Колко е дължината на вълната на електроните във вакуум? Как ще се измени тя когато електроните навлязат в метала? [3 т.]

б) Когато електроните падат върху метала косо, снопът електрони се „пречупва“. Получете връзка между ъгълът на падане и ъгълът на пречупване (подобно на закона на Снелиус за светлината) чрез кинетичната енергия на електроните във вакуум и отделителната работа на метала. [3 т.]

в) Възможно ли е фотон и нерелативистки свободен електрон (с кинетична енергия много по-малка от релативистката му енергия на покой), да имат една и съща енергия и дължина на вълната? [4 т.]

Отговори

Решение

а) Нека означим с $\lambda_0$ и $\lambda$ дължините на вълните във вакуум и в метала. Връзката между импулс и енергия е

E = \frac{p^2}{2m}

[0,5т.] , откъдето следва, че $\lambda_0 = \dfrac{h}{\sqrt{2mE}}$ [0,5т.]

По дефиниция отделителна работа е минималната енергия, която е необходим за електрон да напусне метала. Следователно, когато обратно попадне в метала, енергията му ще нарасте с $A$ . Следователно $\lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2m(E + A)}}$ [1т.]

Откъдето намираме $\dfrac{\lambda}{\lambda_0} = \sqrt{\dfrac{E}{E + A}}$ . [1т.]

б) Показателят на пречупване за електромагнитни вълни показва колко пъти скоростта на разпространение на светлината е по малка от тази във вакуум $c' = c/n$ [0,5т.]. Тъй като $c' = \lambda'.\nu$ , то колкото се промени скоростта, толкова се променя и дължината на вълната (честотата е една и съща) [0,5т.]. Следователно законът на Снелиус, изразен посредством дължини на вълната, ще има вида:

\frac{\sin(\theta_0)}{\sin(\theta)} = \frac{\lambda_0}{\lambda}

[1т.] или за материални вълни $\dfrac{\sin(\theta_0)}{\sin(\theta)} = \sqrt{\dfrac{E + A}{E}}$ [1т.]

в) Енергията на фотона е $E = h\nu$ и като използваме връзката $c = \lambda.\nu$ получаваме $E = h.c/\lambda$ [1т.]

Енергията на електрона $E = m.v^2/2 = p^2/2m$ , която може да изразим чрез дължината на вълната на дьо-Бройл $\lambda = h/p$ , откъдето получаваме $E = h^2/2m\lambda^2$ . [1т.]

Повдигаме израза за енергията на фотона на квадрат $E^2 = h^2.c^2/\lambda^2$ и делим на енергията на електрона, откъдето получаваме $E = 2.m.c^2$ [1т.]

Тъй като последния резултат е два пъти енергията на покой на електрона, не е възможно нералитивистки електрон да има една и съща енергия и дължина с фотон. (Освен тривиалния случай $E = 0$ ) [1т.]

Оригинал в Архива: proletni_2009_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2009_11-12solutions.pdf