Съдържание

НПСФ 2009, 9. клас — Задача 1. Тяло, забиващо се в почвата

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2009

Национално пролетно състезание по физика, 28 февруари 2009 г., Велинград — Тема 9 клас · 28 февруари 2009 г. · 10 т.

Условие

Тяло с маса $2\ \mathrm{kg}$ е хвърлено от височина $250\ \mathrm{m}$ вертикално надолу със скорост $20\ \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ . Тялото се забива в почвата, на дълбочина $20\ \mathrm{cm}$ . Указание: Съпротивлението на въздуха се пренебрегва.

а) Определете механичната енергия в началното положение на тялото. [1 т.]

б) Определете височината над земната повърхност на която кинетичната и потенциална енергия на тялото ще се изравнят. [2 т.]

в) Определете скоростта на тялото при срещата му с повърхността. [1 т.]

г) Определете големината на силата на съпротивление на почвата. [3 т.]

д) Проверете верността на решението чрез мерните единици. [1 т.]

е) Определете големината на ускорението на тялото при движението му в почвата. [1 т.]

ж) Определете времето на движение на тялото в почвата. [1 т.]

Решение

Избираме нулево ниво за пресмятане на потенциалната нергия на нивото на положението в почвата, където е преустановено движението на тялото. Нека $H = 250\ \mathrm{m}$ е височината на началното положение на тялото над земната повърхност. Дълбочината на която тялото навлиза в почвата да означим с $h = 20\ \mathrm{cm}$ .

Нека $E_1$ е механичната енергия на тялото, където движението започва.

Нека $E_2$ е механичната енергия на тялото, на повърхността на Земята.

E_1 = E_{1,\text{К}} + E_{1,\text{П}}

E_2 = E_{2,\text{К}} + E_{2,\text{П}}

Тъй като при движението на тялото от положение 1 в положение 2 действа само силата на тежестта, то механичната енергия на тялото при това движение не се променя и следователно $E_1 = E_2$ .

Нека $E_3$ е механичната енергия на тялото, в почвата, където движението е преустановено.

E_3 = E_{3,\text{К}} + E_{3,\text{П}} = 0

а) Определете механичната енергия в началното положение на тялото. (1 точка)

В положение 1 механичната енергия е:

E_1 = E_{1,\text{К}} + E_{1,\text{П}} = \frac{1}{2}mv_0^2 + mg\left(H+h\right) = 400\ J + 4903\ J = 5303{,}9\ J.

б) Определете височината над земната повърхност на която кинетичната и потенциалната енергия на тялото ще се изравнят. (3 точки)

E_1 = \frac{1}{2}mv_0^2 + mg\left(H+h\right) = \frac{1}{2}mv^2 + mg\left(x+h\right),

\frac{1}{2}mv^2 = mg\left(x+h\right) \Rightarrow 2mg\left(x+h\right) = E_1 \Rightarrow x = \frac{1}{2mg}\left(E_1 - 2mgh\right) = 135{,}1\,m

в) Определете скоростта на тялото при срещата му с повърхността (1 точка)

E_1 = \frac{1}{2}mv_0^2 + mg\left(H+h\right) = 5303\,J = E_2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh

v = \sqrt{\frac{2\left(E_2 - mgh\right)}{m}} = \sqrt{\frac{2\left(5303{,}9\,J - 3{,}9\,J\right)}{2\,kg}} = 72{,}8\,\frac{m}{s}

г) Определете големината на силата на съпротивление на почвата. (3 точки)

В положение 3 механичната енергия е нула. Изменението на механичната енергия се дължи на работата на силата на съпротивление на почвата:

A = -F_X h = \Delta E = -\left(\frac{1}{2}mv_0^2 + mg\left(H+h\right)\right)

\Rightarrow F_X = \frac{m}{h}\left(\frac{1}{2}v_0^2 + g\left(H+h\right)\right)

F_X = \frac{m}{h}\left(\frac{1}{2}v_0^2 + g\left(H+h\right)\right) = 26{,}52\ \mathrm{kN}

д) Проверете верността на решението чрез мерните единици (1 точка)

F_X = \frac{m}{h}\left(\frac{1}{2}v_0^2 + g\left(H+h\right)\right) \qquad [N] \Leftrightarrow \frac{kg}{m}\left(\frac{m^2}{s^2} + \left(\frac{m}{s^2}\right)m\right) = \left[kg\cdot\frac{m}{s^2}\right]

е) Определете големината на ускорението на тялото при движението му в почвата. (1 точка)

h = \frac{v^2}{2a} \Rightarrow a = \frac{v^2}{2h} = \frac{\left(72{,}8\,m/s\right)^2}{2\left(0{,}2\,m\right)} = 13250\ \frac{m}{s^2}

ж) Определете времето на движение на тялото в почвата. (1 точка)

0 = v - at \Rightarrow t = \frac{v}{a} = \frac{72{,}8\ \frac{m}{s}}{13250\ \frac{m}{s^2}} = 0{,}0055\,s

[Бележка от източника: В а) е отпечатано 400 J + 4903 J = 5303,9 J; във в) междинният запис е 5303 J, а под корена — 5303,9 J. Подусловие б) е оценено с 2 точки в условието и с 3 точки в решението. Различията са запазени.]

Оригинал в Архива: proletni_2009_9problems.pdf · официални решения: proletni_2009_9solutions.pdf