Съдържание

НПСФ 2009, Специална тема — Задача 1. Удар на метеорит с планета

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2009

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · Национално пролетно състезание по физика, Велинград, 28 февруари 2009 г. · Специална тема · 28 февруари 2009 г.

Условие

Еднородна планета с радиус $r_\Pi = 6400$ km и плътност $\rho = 5{,}5\cdot10^{3}\ \mathrm{kg/m^3}$ се движи със скорост $v_\Pi = 30$ km/s около звезда по кръгова орбита с радиус $R$ . Периодът на обикаляне е $T = 365$ дни. Метеорит с радиус $r_\mathrm{M} = 10$ km и същата плътност застига планетата със скорост с големина спрямо звездата в момента на удара $v_\mathrm{M} = 45$ km/s и посока, успоредна на скоростта на планетата. Отбелязвайте масите на планетата и метеорита съответно с $M$ и $m$ .

а) получете формула за скоростта $v'_\Pi$ на планетата след удара [0,5 т.]

б) получете приближена формула за промяната на скоростта на планетата $\Delta v = v'_\Pi - v_\Pi$ , ако $m \ll M$ [0,5 т.]

в) нека $R'$ е разстоянието на максимално отдалечаване на планетата от звездата след удара. Изразете $R'$ чрез $R$ , $v_\Pi$ и $v'_\Pi$ [1 т.]

г) получете приближена (с точност до линейни членове) формула за $R'$ , изразен чрез $R$ , $v_\Pi$ и $\Delta v$ [0,5 т.]

д) като намерите периода на обикаляне на планетата след удара $T'$ , намерете промяната на периода $\Delta T = T' - T$ и я изчислете в секунди [2 т.]

е) Планетата се върти преди удара с период $T_\mathrm{B} = 24$ h. Оста на планетата е перпендикулярна на равнината на орбитата, а посоката на въртене е същата като посоката на обикаляне на планетата около звездата. Метеоритът удря планетата в точка от екватора, където е пладне (т.е. тангенциално на повърхността на планетата), след което остава на мястото на удара. Намерете приближена формула за промяната на периода $\Delta T_\mathrm{B}$ на въртене на планетата и я изчислете в секунди [1,5 т.]

ж) намерете приближена формула за промяната $\Delta E_\mathrm{кин}^{пост}$ на кинетичната енергия на постъпателното движение на системата планета-метеорит вследствие на удара [1,5 т.]

з) намерете приближена формула за промяната $\Delta E_\mathrm{кин}^{върт}$ на кинетичната енергия на въртеливото движение на планетата вследствие на удара [0,5 т.]

и) намерете и изчислете отношението $\Delta E_\mathrm{кин}^{върт} / \Delta E_\mathrm{кин}^{пост}$ [0,5 т.]

й) енергията, отделяща се при взривове, се мери в т.нар. тротилов (TNT - тринитротолуен) еквивалент. Приема се, че при взрива на 1 g TNT се отделя 1000 cal топлина, или 1 kt (килотон) TNT = $4{,}2\cdot10^{12}$ J. Енергията на взрива на атомната бомба, взривена над Хирошима през 1945 г., е била 13 kt TNT. Изчислете енергията $E_\mathrm{В}$ на взрива, получаващ се от удара на метеорита в планетата, в единици „бомби над Хирошима“ [0,5 т.]

к) много груб модел предполага, че 1/15 от енергията $E_\mathrm{В}$ на удара загрява и стапя част от повърхността на планетата с формата на конус с радиус $n\,r_\mathrm{M}$ и височина (дълбочина) $2\,r_\mathrm{M}/n$ . Предполага се, че кратерът, образуван от метеорита има размерите на този конус. Изчислете неизвестното $n$ и определете размерите на кратера. Температурата на планетата е $T_\Pi = 0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , температурата на топене на повърхността $T_\mathrm{т} = 1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , специфичният топлинен капацитет на повърхността е $c = 1\cdot10^{3}$ J/kg.K, а специфичната топлина на топене на повърхността е $q = 4\cdot10^{5}$ J/kg. [1 т.]

Отговори

Решение

Задача 1. Удар на метеорит с планета.

а) от закона за запазване на импулса (ЗЗИ) следва, че $mv_\mathrm{M} + Mv_\Pi = (m+M)v'_\Pi$ . Следователно $v'_\Pi = \dfrac{mv_\mathrm{M} + Mv_\Pi}{m+M}$ [0,5 т] (1.1)

б) промяната на скоростта на планетата $\Delta v = v'_\Pi - v_\Pi = \dfrac{mv_\mathrm{M} + Mv_\Pi}{m+M} - v_\Pi = \dfrac{m(v_\mathrm{M} - v_\Pi)}{m+M} \approx \dfrac{m(v_\mathrm{M} - v_\Pi)}{M} = \dfrac{r_\mathrm{M}^3}{r_\Pi^3}(v_\mathrm{M} - v_\Pi)$ [0,5 т] (1.2).

в) След удара планетата ще се движи по елипса като най-малкото разстояние между планетата и звездата е $R$ , а най-голямото — $R'$ . В тези две точки (двата края на голямата ос на елипсата) скоростите са перпендикулярни на голямата ос на елипсата. Нека бележим скоростта на планетата при разстояние $R'$ с $v''_\Pi$ . От закона за запазване на момента на импулса (ЗЗМИ) (или втория закон на Кеплер) следва, че $v'_\Pi R = v''_\Pi R'$ , откъдето $v''_\Pi = v'_\Pi \dfrac{R}{R'}$ [0,2 т] (1.3). От закона за запазване на механичната енергия (ЗЗЕ), приложен за същите две точки, следва, че $\dfrac{M{v'_\Pi}^2}{2} - \dfrac{\gamma M_3 M}{R} = \dfrac{M{v''_\Pi}^2}{2} - \dfrac{\gamma M_3 M}{R'}$ [0,2 т] (1.4). От условието за движение по кръгова орбита следва, че $\dfrac{\gamma M_3 M}{R^2} = \dfrac{M{v_\Pi}^2}{R}$ , откъдето $\gamma M_3 = {v_\Pi}^2 R$ [0,2 т] (1.5). Използвайки (1.3) и (1.5) и преобразувайки (1.4) се получава $R' = R\dfrac{1}{2\left(\dfrac{v_\Pi}{v'_\Pi}\right)^2 - 1}$ [0,4 т] (1.6).

г) Замествайки в (1.6) $v'_\Pi$ с $v_\Pi + \Delta v$ , получаваме $R' = R\dfrac{1}{2\left(\dfrac{v_\Pi}{v_\Pi+\Delta v}\right)^2 - 1} = R\dfrac{1}{2\left(\dfrac{1}{1+\frac{\Delta v}{v_\Pi}}\right)^2 - 1} \approx R\dfrac{1}{2\left(1 - 2\dfrac{\Delta v}{v_\Pi}\right) - 1} = R\dfrac{1}{1 - 4\dfrac{\Delta v}{v_\Pi}} \approx R\left(1 + 4\dfrac{\Delta v}{v_\Pi}\right)$ [0,5 т] (1.7).

д) голямата полуос $a$ на елипсата, която е орбитата на планетата след удара, е $a = \dfrac{R+R'}{2}$ [0,1 т]. Използвайки (1.7), получаваме $a = \dfrac{R + R\left(1 + 4\frac{\Delta v}{v_\Pi}\right)}{2} = R\left(1 + 2\dfrac{\Delta v}{v_\Pi}\right)$ [0,2 т] (1.8). Използвайки третия закон на Кеплер и сравнявайки параметрите на старата и новата орбити, получаваме $\dfrac{T'^2}{T^2} = \dfrac{a^3}{R^3}$ [0,2 т] (1.9). Замествайки (1.8) в (1.9), $T' = T\left(\dfrac{a}{R}\right)^{3/2} \approx T\left(1 + 2\dfrac{\Delta v}{v_\Pi}\right)^{3/2} \approx T\left(1 + 3\dfrac{\Delta v}{v_\Pi}\right)$ [0,2 т] (1.10). Следователно $\Delta T = T' - T = T\,3\dfrac{\Delta v}{v_\Pi}$ [0,2 т]. Използвайки (1.2), $\Delta T = 3T\dfrac{r_\mathrm{M}^3}{r_\Pi^3}\dfrac{(v_\mathrm{M} - v_\Pi)}{v_\Pi}$ [0,6 т] $= 3\cdot(365\cdot24\cdot3600\,\mathrm{s})\dfrac{(10\,\mathrm{km})^3}{(6400\,\mathrm{km})^3}\dfrac{45 - 30\,\mathrm{km/s}}{30\,\mathrm{km/s}} = 0{,}18$ s [0,5 т].

е) От ЗЗМИ следва, че $\Delta L = I\Delta\Omega = -r_\Pi\Delta p_\mathrm{M}$ [0,3 т] (1.11). $\Delta\Omega \approx -\dfrac{2\pi\Delta T_\mathrm{B}}{T_\mathrm{B}^2}$ [0,2 т] (1.12). $I = \dfrac{2}{5}Mr_\Pi^2$ (1.13). $\Delta p_\mathrm{M} = m(v_\mathrm{M} - v_\Pi)$ [0,1 т] (1.14) (тук се пренебрегва линейната скорост на точката на удара, дължаща се на въртенето на планетата: $\dfrac{2\pi}{T_\mathrm{B}}r_\Pi \ll v_\mathrm{M} - v_\Pi$ ). Замествайки (1.12), (1.13) и (1.14) в (1.11), получаваме $-\dfrac{2}{5}Mr_\Pi^2\cdot\dfrac{2\pi\Delta T_\mathrm{B}}{T_\mathrm{B}^2} = -r_\Pi m(v_\mathrm{M} - v_\Pi)$ [0,1 т], откъдето $\Delta T_\mathrm{B} \approx \dfrac{5}{4\pi}T_\mathrm{B}^2\dfrac{(v_\mathrm{M} - v_\Pi)}{r_\Pi}\left(\dfrac{r_\mathrm{M}}{r_\Pi}\right)^3$ [0,3 т] (1.15) $= \dfrac{5}{4\pi}(24\cdot3600\,\mathrm{s})^2\dfrac{(45-30\,\mathrm{km/s})}{6400\,\mathrm{km}}\left(\dfrac{10\,\mathrm{km}}{6400\,\mathrm{km}}\right)^3 = 0{,}027$ s [0,5 т].

ж) промяната $\Delta E_\mathrm{кин}^{пост}$ на кинетичната енергия на постъпателното движение на системата планета-метеорит вследствие на удара е $\Delta E_\mathrm{кин}^{пост} = \dfrac{(M+m){v'_\Pi}^2}{2} - \dfrac{Mv_\Pi^2}{2} - \dfrac{mv_\mathrm{M}^2}{2}$ [0,3 т] (1.16). Използвайки (1.1), (1.16) се преобразува до $\Delta E_\mathrm{кин}^{пост} = -\dfrac{mM}{2(m+M)}(v_\mathrm{M} - v_\Pi)^2$ [0,5 т] $\approx -\dfrac{m}{2}(v_\mathrm{M} - v_\Pi)^2$ [0,2 т] (1.17).

з) промяната $\Delta E_\mathrm{кин}^{върт}$ на кинетичната енергия на въртеливото движение на планетата вследствие на удара е $\Delta E_\mathrm{кин}^{върт} = \dfrac{I\Omega'^2}{2} - \dfrac{I\Omega^2}{2}$ [0,1 т] $\approx I\Delta\Omega\,\Omega = -r_\Pi\Delta p_\mathrm{M}\,\Omega$ [0,2 т]. Използвайки (1.14), $\Delta E_\mathrm{кин}^{върт} = -\dfrac{2\pi}{T_\mathrm{B}}\, r_\Pi m(v_\mathrm{M} - v_\Pi)$ [0,2 т] (1.18).

и) от (1.17) и (1.18) отношението $\Delta E_\mathrm{кин}^{върт}/\Delta E_\mathrm{кин}^{пост} = \dfrac{-\frac{2\pi}{T_\mathrm{B}}r_\Pi m(v_\mathrm{M}-v_\Pi)}{-\frac{m}{2}(v_\mathrm{M}-v_\Pi)^2} = \dfrac{4\pi r_\Pi}{T_\mathrm{B}(v_\mathrm{M} - v_\Pi)}$ [0,3 т] (1.19) $= \dfrac{4\pi\,6400\,\mathrm{km}}{24\cdot3600\,\mathrm{s}\,(45-30)\,\mathrm{km/s}} = 0{,}062$ [0,2 т]

й) тъй като $\Delta E_\mathrm{кин}^{върт}/\Delta E_\mathrm{кин}^{пост} \ll 1$ , то енергията $E_\mathrm{В}$ на взрива $E_\mathrm{В} \approx \left|\Delta E_\mathrm{кин}^{пост}\right|$ . Използвайки (1.17), $E_\mathrm{В}$ в единици „бомби над Хирошима“ е $E_\mathrm{В} = \dfrac{\frac{m}{2}(v_\mathrm{M} - v_\Pi)^2}{13\cdot 4{,}2\cdot10^{12}\,\mathrm{J}} = \dfrac{5{,}5\cdot10^3\,\mathrm{kg/m^3}\,4\pi\cdot(10\cdot10^3\,\mathrm{m})^3\left[(45-30)10^3\,\mathrm{m/s}\right]^2}{3\cdot 2\cdot 13\cdot 4{,}2\cdot10^{12}\,\mathrm{J}} = 4{,}7\cdot10^{10}$ [0,5 т].

к) ако $Q = \dfrac{1}{15}E_\mathrm{В}$ е енергията, необходима да загрее и стопи част от повърхността с формата на конус с радиус $n\,r_\mathrm{M}$ и височина (дълбочина) $2\,r_\mathrm{M}/n$ , то $Q = \rho\dfrac{\pi (n r_\mathrm{M})^2}{3}\dfrac{2r_\mathrm{M}}{n}\left[c(T_\mathrm{т} - T_\Pi) + q\right]$ [0,2 т], откъдето $n = \dfrac{3\cdot\frac{1}{15}E_\mathrm{В}}{2\pi\rho r_\mathrm{M}^3\left[c(T_\mathrm{т} - T_\Pi) + q\right]}$ [0,2 т] (1.20) $= \dfrac{3\cdot\frac{1}{15}\, 4{,}7\cdot10^{10}\cdot 13\cdot 4{,}2\cdot10^{12}\,\mathrm{J}}{2\pi\, 5{,}5\cdot10^3\,\mathrm{kg/m^3}\,(10^4\,\mathrm{m})^3\left[10^3\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kgK}}(1000-0)^\circ\mathrm{C} + 4\cdot10^5\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}}\right]} \approx 11$ [0,4 т]. Следователно кратерът от удара ще има радиус около 110 км [0,1 т] и дълбочина около 1,8 км. [0,1 т]

Полезна математика

Ако $|x| \ll 1$ , то $(1+x)^n \approx 1+nx$ , обем на конус $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ , $\dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dy}\dfrac{dy}{dx}$

Полезна физика

Закони на Кеплер:

Планетите се движат по елипси като Слънцето се намира в единия от двата фокуса на елипсата.
При движението на една планета по орбитата ѝ, площната ѝ скорост $\dfrac{\Delta S}{\Delta t} = \dfrac{1}{2}r^2\omega = const.$
Ако две планети 1 и 2, обикалящи около Слънцето, имат съответно периоди на обикаляне и големи полуоси на орбитите си $T_1$ и $T_2$ и $a_1$ и $a_2$ , то $\dfrac{T_1^2}{T_2^2} = \dfrac{a_1^3}{a_2^3}$ .

Закон на Вин: произведението от дължината на вълната $\lambda_{\max}$ в максимума на плътността на яркостта на излъчването по дължина на вълната $L_\lambda = \dfrac{dL}{d\lambda}$ и температурата на идеално черно тяло е константа: $\lambda_{\max}.T = b$ ( $b$ – константа на Вин).

Инерчен момент на еднородно кълбо $I = \dfrac{2}{5}mr^2$ ,

1 а.е. = $1{,}66\cdot10^{-27}$ kg, $\nu\left[\mathrm{cm}^{-1}\right] = \dfrac{\nu[\mathrm{Hz}]}{3\cdot10^{10}}$ , $e = 1{,}60\cdot10^{-19}$ C,

$\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot10^{-12}\,\dfrac{\mathrm{C}^2}{\mathrm{N.m}^2}$ , 1Å = $1\cdot10^{-10}$ m, $h = 6{,}626\cdot10^{-34}$ J.s,

$c = 2{,}998\cdot10^{8}$ m/s, $k = 1{,}381\cdot10^{-23}$ J/K

Оригинал в Архива: proletni_2009_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2009_STsolutions.pdf