Съдържание

НПСФ 2010, 11–12 клас — Задача 1. Велосипед в калта

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2010

Национално пролетно състезание по физика 2010, Тема за 11 и 12 клас · 13 март 2010 г. · 10 т.

Условие

Велосипед се движи върху кална повърхност. Предното колело и задното колело правят отделно следи в калта, както е показано на Фигура 1а.

Фигура 1а и Фигура 1б: следите и отделящата се кал.

а) Коя от следите е направена от предното колело и коя от задното колело? Обосновете отговора си. [3 т.]

б) Използвайки следите от Фигура 1а, определете в каква посока се движи велосипедът. Обосновете отговора си. [3 т.]

в) Ако задното колело има радиус $R$ и се върти със скорост $v$ спрямо оста на колелото (виж Фигура 1б), то намерете максималната височина ( $H$ ), до която стигат пръските кал от колелото. [4 т.]

Упътване: За решението на условия а) и б) можете да ползвате всякакви чертожни инструменти.

При решаването на условие в) пренебрегнете съпротивлението на въздуха и отчетете, че калта може да се отделя при различни височини $h$ от колелото (виж Фигура 1б ), които височини отговарят на различни ъгли $\alpha$ спрямо вертикалата (калта излита винаги по допирателна на колелото, виж Фигура 1б ).

Решение

а) Задното колело на велосипеда винаги се насочва към мястото, където предното колело докосва земята. Ето защо допирателната към следата, оставена от задното колело, винаги ще преминава през следата на предното колело на велосипеда. Докато предното колело на велосипеда не проявява тази геометрична собственост. Имайки предвид горното съждение, не е трудно да се убедим, че плътната следа е оставена от предното колело, а пунктираната следа е оставена от задното колело на велосипеда. [3т]

б) Знаейки вече, че пунктираната следа е оставена от задното колело, можем да изберем две произволни точки върху пунктираната следа и да прекараме допирателна през тях, както е показано на Фигура 1. Понеже разстоянието между двете колела (BC,EF) остава постоянно, то от Фигура 1 лесно се вижда, че посоката на движение на велосипеда е от ляво на дясно (показана е със стрелки на Фигура 1) [3т]

Фигура 1. Допирателни, точки A–F и посока на движение.

в) Кал, отделяща се от различни точки на задното колело, ще достигне до различни височини, в зависимост от първоначалната височина $R+h$ и ъгъл на изхвърляне $\alpha$ (виж Фигура 2).

Фигура 2. Геометрията на отделяне на калта.

Записвайки закона за запазване на енергията имаме:

mgh_0 = \frac{mv^2}{2}\cos^2\alpha \Rightarrow

h_0 = \frac{v^2}{2g}\cos^2\alpha\,,

Където $h_0$ е височината, на която излита калта над точката $O$ . Височината, на която се издига калта спрямо земята е

H = R + h + h_0 = R + R\sin\alpha + \frac{v^2}{2g}\cos^2\alpha

Оттук задачата може да се реши по два начина:

Начин 1. (решение без използване на производни)

Функцията $H = R + R\sin\alpha + \frac{v^2}{2g}\cos^2\alpha$ разписваме като $H = R + R\sin\alpha + \frac{v^2}{2g}\left(1-\sin^2\alpha\right)$ , което уравнение е квадратично спрямо $\sin\alpha$ . Тогава максималната височина на издигане се достига при $\sin\alpha_0 = \frac{Rg}{v^2}$ и тя е:

H = R + R\sin\alpha_0 + \frac{v^2}{2g}\left(1-\sin^2\alpha_0\right) = R + \frac{v^2}{2g} + \frac{gR^2}{2v^2}\quad \textbf{[2т]}

Имаме и друго максимално решение на уравнение $H = R + R\sin\alpha + \frac{v^2}{2g}\left(1-\sin^2\alpha\right)$ , и това е случаят, в който квадратното уравнение се редуцира до линейно уравнение ( $\alpha = \pi/2$ ). Този случай отговаря на максимална височина на издигане $H = 2R$ [2т] само когато $v^2 \le gR$

Начин 2. (решение с използване на производни)

Функцията $H = R + R\sin\alpha + \frac{v^2}{2g}\cos^2\alpha$ изследваме за максимум, като за целта търсим ъглите $\alpha$ , при които:

\frac{dH}{d\alpha} = 0 \Rightarrow

R\cos\alpha - \frac{v^2}{g}\sin\alpha\cos\alpha = 0

Имаме две решения за горното уравнение. Първото решение е $\cos\alpha = 0\,(\alpha = \pi/2)$ . Този случай отговаря на максимална височина на издигане $H = 2R$ [2т] само когато $v^2 \le gR$ (понеже тогава имаме $\frac{d^2H}{d\alpha^2} < 0$ ). Ако $v^2 > gR$ , то максималното решение се дава от другото решение: $\sin\alpha_0 = \frac{Rg}{v^2}$ и тогава максималната височина на издигане спрямо земята е:

H = R + R\sin\alpha_0 + \frac{v^2}{2g}\left(1-\sin^2\alpha_0\right) = R + \frac{v^2}{2g} + \frac{gR^2}{2v^2}\quad \textbf{[2т]}

Оригинал в Архива: proletni_2010_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2010_11-12solutions.pdf