Съдържание

НПСФ 2010, Специална тема — Задача 1. Подскачане на топче за тенис на маса

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2010

Национално пролетно състезание по физика, Пловдив, 13 - 14 март 2010 г. — Специална тема · 13 март 2010 г. · 10 т.

Условие

Топче започва да подскача вертикално върху хоризонтална повърхност. Ударите на топчето с повърхността не са идеално еластични, а се характеризират с т. нар. коефициент на възстановяване

k = \frac{v_{\text{след}}}{v_{\text{преди}}},

където двете скорости $v_{\text{преди}}$ и $v_{\text{след}}$ са съответно непосредствено преди и след удара.

а) Ако $t_1$ и $t_\infty$ са съответно моментите време на първия удар и на спиране на топчето върху повърхността, намерете формула за интервала време $T_{1\_\infty} = t_\infty - t_1$ [2 т]. Земното ускорение е $g = 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ , а скоростта на топчето непосредствено преди първия удар е $v_0$ .

б) Този модел на подскачане на топчето се проверява експериментално. С микрофон и компютър е записан звукът от подскачането на топче за тенис на маса върху хоризонтална твърда повърност. Напрежението на микрофона като функция на времето е дадено на приложената фигура. Целта е от тази фигура да се извлече информация, за да се получи експериментално стойността на коефициента на възстановяване $k$ . Намерете такива променливи, че информацията от фигурата, представена графично, да е права линия, от чиито параметри може да изчислите $k$ . Запишете зависимостта, която ще чертаете графично [0,5 т]. Посочете кои и колко данни ще използвате [0,5 т]. Запишете измерените данни от фигурата в приложената таблица, като в нея нанесете и допълнителни колони с данни, които ще изчислите (ако се нуждаете от такива) [0,5 т]. Начертайте графиката на предложената от вас зависимост [3,5 т]. Определете от графиката $k$ [1 т].

в) Определете грешката, с която сте намерили $k$ . [0,5 т.]

г) Определете от фигурата интервала време $T_{1\_\infty}$ . [0,5 т.]

д) Изчислете от каква височина $h$ е пуснато топчето в направения експеримент. [0,5 т.]

е) Изчислете грешката $\Delta h$ на височината $h$ . [0,5 т.]

(таблицата и фигурата се предават заедно с решението на задачата!)

Оригиналната празна таблица с пет колони и 27 реда.

Пълният запис на микрофона, Voltage(V) спрямо Time(ms).

Оригиналната милиметрова хартия за графиката.

Решение

а) Нека скоростта на топчето след първия удар да е $v_1$ , след втория удар – $v_2$ , а след $n$ -ия удар – $v_n$ . Тогава скоростта след първия удар е $v_1 = kv_0$ , след втория удар е $v_2 = kv_1 = k^2v_0$ , а след $n$ -ия удар е $v_n = kv_{n-1} = k^n v_0$ [0,5 т]. Съответно времето между първия и втория удар е $t_{1\_2} = \frac{2v_1}{g} = \frac{2kv_0}{g}$ , между втория и третия удар е $t_{2\_3} = \frac{2v_2}{g} = \frac{2k^2v_0}{g}$ , а между $n-1$ -ия и $n$ -ия удар е $t_{n-1\_n} = \frac{2v_n}{g} = \frac{2k^{n-1}v_0}{g}$ [0,5 т]. Общото време между първия и $n$ -ия удар е

T_{1\_n} = t_{1\_2} + t_{2\_3} + \ldots + t_{n-1\_n} = \frac{2v_0}{g}\left(k + k^2 + \ldots + k^{n-1}\right) = \frac{2v_0k}{g}\left(1 + k + \ldots + k^{n-2}\right) = \frac{2v_0k(1-k^{n-1})}{g(1-k)}

[0,5 т].

Следователно времето от първия удар до пълното спиране на топчето върху повърхността е

T_{1\_\infty} = \lim_{n\to\infty}\frac{2v_0k(1-k^{n-1})}{g(1-k)} = \frac{2v_0k}{g(1-k)}

[0,5 т].

б) от приложената фигура могат да се измерят моментите време на голям брой удари. В по-долната таблица са дадени тези моменти време за първите 25 удара (измерени с точност 10 ms) [0,5 т].

№ на удар	Време на $n$ -ия удар $t_\text{n}$ , ms	$t_\text{n}$ – $t_\text{n-1}$ , ms	$\lg(t_\text{n}-t_\text{n-1})$	$\dfrac{t_n - t_{n-1}}{t_{n-1} - t_{n-2}}$
1	260
2	550	290	2.462
3	810	260	2.415	0.897
4	1050	240	2.380	0.923
5	1270	220	2.342	0.917
6	1470	200	2.301	0.909
7	1660	190	2.279	0.950
8	1830	170	2.230	0.895
9	1990	160	2.204	0.941
10	2130	140	2.146	0.875
11	2260	130	2.114	0.929
12	2390	130	2.114	1.000
13	2500	110	2.041	0.846
14	2610	110	2.041	1.000
15	2720	110	2.041	1.000
16	2810	90	1.954	0.818
17	2900	90	1.954	1.000
18	2980	80	1.903	0.889
19	3050	70	1.845	0.875
20	3130	80	1.903	1.143
21	3190	60	1.778	0.750
22	3250	60	1.778	1.000
23	3300	50	1.699	0.833
24	3350	50	1.699	1.000
25	3400	50	1.699	1.000

(за таблицата [0,5 т]).

От тези моменти време могат да се получат две зависимости:

б1) (по-лесна и по-неточна) Отношенията на два съседни интервала време между последователни удари $\frac{t_n - t_{n-1}}{t_{n-1} - t_{n-2}} = \frac{t_{n\_n-1}}{t_{n-1\_n-2}} = \frac{\frac{2k^{n-1}v_0}{g}}{\frac{2k^{n-2}v_0}{g}} = k$ . Следователно, зависимостта $\frac{t_n - t_{n-1}}{t_{n-1} - t_{n-2}} = f(n)$ [0,5 т] трябва да е константа (хоризонтална права линия), равна на коефициента на възстановяване $k$ . Зависимостта е дадена на Фиг.1. Стойността на получената константа е $k = 0.930$ [1 т] (която може да се сметне и като средна стойност на всичките отношения $\frac{t_n - t_{n-1}}{t_{n-1} - t_{n-2}}$ ).

б2) (по-трудна и по-точна) Тъй като $t_{n-1\_n} = \frac{2k^{n-1}v_0}{g}$ , то $\lg(t_{n-1\_n}) = \lg\!\left(\frac{2v_0}{g}\right) + \lg(k)(n-1)$ . Следователно зависимостта $\lg(t_{n-1\_n}) = f(n-1)$ [0,5 т] е права линия с наклон $\lg(k)$ . Тази зависимост е дадена на Фиг.2.

Фиг.1. Отношенията на съседните интервали. — Фиг.1 [3,5 т]

Фиг.2. Логаритмичната зависимост. — Фиг.2 [3,5 т]

По този начин стойността на получената константа е $k = 0{,}926$ [1 т].

в) грешката по начина б1) е трудно да се оцени графично (но е от порядъка на 0,25). По начина б2) може да се оцени по метода на най-стръмната и най-хоризонталната права, минаващи през точките от графиката. Така се получава $k = 0{,}926 \pm 0.008$ [0,5 т].

г) от фигурата интервалът време $T_{1\_\infty} = t_\infty - t_1 = 3{,}910 - 0{,}260 = 3{,}650\ \mathrm{s}$ [0,5 т].

д) тъй като $T_{1\_\infty} = \frac{2v_0k}{g(1-k)}$ , а $h = \frac{v_0^{\,2}}{2g}$ , то $h = \frac{gT_{1\_\infty}^{\,2}}{8}\left(\frac{1-k}{k}\right)^{2}$ [0,3 т]. Замествайки с дадените и измерените стойности $h = 0{,}104\ \mathrm{m}$ [0,2 т].

е) използвайки грешката за $k$ , $\Delta k = \pm 0{,}008$ , изчислявайки $h$ съответно с най-малката и най-голямата стойност за $k$ , намираме за $\Delta h \approx 0{,}025\ \mathrm{m}$ [0,5 т].

Оригинал в Архива: proletni_2010_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2010_STsolutions.pdf