НПСФ 2011, 10. клас — Задача 1. Стъклено полукълбо и светлинно петно

• а) Петното е кръг с център в пресечната точка на оста $OO'$ с екрана $E$; границата му се дава от лъчите, падащи върху сферичната повърхнина под граничния ъгъл.
• б) $R = L - \frac{r}{\cos\alpha} \approx 2{,}2\ \mathrm{cm}$

а) Тъй като лъчите преминават от стъкло във въздух, за някои от тях е възможно пълно вътрешно отражение и те няма да попадат върху екрана. [1 т.] Границата на петното във формата на кръг се определя от лъчите, които падат върху сферичната повърхнина под ъгъл, равен на граничния (фиг. 1) [1 т.]. Центърът на кръга се намира в пресечната точка на оста $OO'$ и екрана $E$. [1 т.]

б) От закона на Снелиус определяме граничния ъгъл $\alpha$:

Тогава $R = b = L - a$ [1 т.]. От равнобедрения правоъгълен триъгълник $OAB$ намираме

Следователно имаме $R = L - \dfrac{r}{\cos\alpha} \approx 2{,}2\ \mathrm{cm}$. [2 т.]