Съдържание

НПСФ 2011, 11–12 клас — Задача 1. Призми

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2011

Национално пролетно състезание по физика, Велико Търново, 26 февруари 2011 г. — Тема за 11-12 клас · 26 февруари 2011 г. · 10 т.

Условие

Част 1.

Тяло от прозрачно вещество, на което две от повърхностите му са равнини, сключващи някакъв ъгъл, в оптиката се нарича призма. Нека ъгълът на призмата е $\theta$ , а показателят на пречупване на веществото е неизвестен и се бележи с $n$ . През призмата се пропуска светлинен лъч така, че ъгълът на падане на падащият лъч да е равен на ъгълът на пречупване на излизащия лъч, както е показано на фигурата. Измереният ъгъл на отклонение на светлинния лъч от призмата, дефиниран на фигурата, е $\varphi$ .

Триъгълна призма с ъгъл при върха θ и показател на пречупване n, обградена от среда с показател 1; лъч влиза отляво под ъгъл α, върви хоризонтално вътре в призмата и излиза надясно под ъгъл α, отклонен на ъгъл φ спрямо продължението на падащия лъч (пунктир).

а) Намерете формула за показателя на пречупване $n$ , изразен чрез ъгъла на отклонение $\varphi$ и ъгъла на призмата $\theta$ . Приемете, че показателят на пречупване на въздуха е 1. [3 т.]

б) Нека призмата е направена от обикновено стъкло с показател на пречупване $n_{\text{ст}} = 1{,}5$ . При какви стойности на ъгъла $\theta$ лъчът може да премине през призмата по този симетричен начин? [1 т.]

в) За всички прозрачни материали се оказва, че показателят на пречупване $n$ зависи от дължината на вълната на светлината $\lambda$ така, че $n$ намалява с нарастването на $\lambda$ . Ако падащият лъч съдържа три монохроматични светлинни вълни съответно със син, зелен и червен цвят и показаният начин на преминаване се отнася за зеления цвят, покажете качествено на картинка как ще преминат лъчите със син и червен цвят. [2 т.]

Част 2.

Нека сега разгледаме такава равнобедрена призма, през която светлинният лъч преминава не само с пречупване от предната и задната стена на призмата, а по по-сложен начин: лъчът се пречупва от предната стена, отразява се от основата на призмата (долната стена) и отново се пречупва от задната стена. Известни са ъгълът на призмата $\theta$ и ъгълът на падане на първата стена $\alpha$ .

Равнобедрена призма с ъгъл θ при върха; лъч пада отляво под ъгъл α, пречупва се навътре, отразява се от долната основа и излиза през дясната стена, отклонен на ъгъл φ спрямо пунктираното продължение на падащия лъч.

г) Изразете ъгъла на отклонение $\varphi$ на преминалия лъч спрямо падналия лъч чрез $\theta$ и $\alpha$ . [3 т.]

д) Ако падащият лъч съдържа три монохроматични светлинни вълни съответно със син, зелен и червен цвят и показаният начин на преминаване се отнася за зеления цвят, покажете качествено на картинка как ще преминат лъчите със син и червен цвят. Ще се разпространяват ли тези три лъча в различни направления? [1 т.]

Решение

Част 1.

а) От чертежа се вижда, че ъгълът на отклонение $\varphi = 2(\alpha-\beta)$ [0,5 т]. Ъгълът на падане $\alpha$ и на пречупване $\beta$ са свързани със закона на Снелиус: $\sin\alpha/\sin\beta = n$ [0,5 т]. От чертежа също така се вижда, че $\beta = \theta/2$ [0,5 т]. Използвайки тези три връзки, се получава, че $n = \sin\!\left[(\varphi+\theta)/2\right]/\sin(\theta/2)$ (1.1) [1,5 т].

Същата триъгълна призма с означени точки A (вход на лъча), B (върха) и C; половината от ъгъла при върха е θ/2, ъгълът на пречупване в A е β, ъглите на падане и на излизане са α, а ъгълът на отклонение е φ.

б) Ъгълът на една призма може да се изменя в интервала $(0,180^\circ)$ . Когато ъгълът $\theta$ расте, ще расте и ъгълът $\beta$ като при някаква критична стойност на $\theta_{\max}$ , ъгълът $\beta$ ще стане равен на ъгъла на пълно вътрешно отражение (т.е. тогава ъгълът на падане е $\alpha = 90^\circ$ ). Тогава обаче $\varphi = 180^\circ - \theta$ . Използвайки (1.1), $n = 1/\sin(\theta_{\max}/2)$ . Следователно $\sin(\theta_{\max}/2) = 1/n$ [0,5 т] и при $n = 1{,}5$ се получава $\theta_{\max} \approx 83.6^\circ$ или ъгълът на призмата трябва да е в интервала $(0,83.6^\circ)$ [0,5 т].

в) тъй като синият лъч има най-малка дължина на вълната, а червеният – най-голяма, то $n_{\text{С}} > n_{\text{З}} > n_{\text{Ч}}$ . При един и същ ъгъл на падане синият лъч ще се пречупи най-много, а червеният – най-малко, т.е. $\varphi_{\text{С}} > \varphi_{\text{З}} > \varphi_{\text{Ч}}$ [2 т].

Част 2.

г) Тъй като лъчът при преминаването си през призмата се отклонява както в едната посока, така и в другата, удобно е да се въведе знак на ъгъла на отклонение (например “плюс” за посока, обратна на часовниковата стрелка и “минус” за посока по часовниковата стрелка). От факта, че призмата е равнобедрена, следва равенство на ъглите на падане и на пречупване в точките А и В. Тогава ъгълът на отклонение на преминалия лъч спрямо падналия лъч е

\varphi = -(\alpha-\beta) + (180^\circ - 2\gamma) - (\alpha-\beta) = 2(-\alpha + \beta - \gamma + 90^\circ) \quad (1.2)

[1 т]. Тъй като сумата от ъглите в четириъгълника ABCD е $360^\circ$ следва, че $\theta + 2\gamma + 2(90^\circ - \beta) = 360^\circ$ , откъдето $\theta = 2(\beta - \gamma + 90^\circ)$ . Замествайки в (1.2), $\varphi = -2\alpha + \theta$ (1.3) [2 т].

Равнобедрена призма с връх C, точка на влизане A, точка на излизане B и точка на отражение D върху основата; ъглите на пречупване в A и B са β, ъглите при отражението в D са γ, ъгълът при върха е θ, а ъгълът на отклонение е φ.

д) тъй като ъгълът на отклонение $\varphi$ , получен в (1.3) не зависи от показателя на пречупване, следва че лъчите с различни цветове ще се разпространяват в едно и също направление (пространствено ще бъдат леко отместени, оставайки успоредни помежду си, като синият лъч ще е отгоре, червеният - отдолу, а зеленият – по средата). [1 т]

Оригинал в Архива: proletni_2011_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2011_11-12solutions.pdf