НПСФ 2011, 8. клас — Задача 2

• а) $OB' = 2f - BO = 0{,}05\,m$

  Образът е от страната на предмета, на 0,05 m от лещата; големината му е равна на големината на предмета, образът е действителен и обърнат.

• б) $B'O = BO - 2f = 25\ \mathrm{cm} - 20\ \mathrm{cm} = 5\ \mathrm{cm}$

  Образът се намира на 5 cm зад лещата, точно по средата между лещата и огледалото; той е със същата големина и е обърнат и недействителен.

• в) Образът е на същото разстояние от лещата като предмета ($0{,}10$ m), обърнат е, има същата големина и е действителен.

Решение на задача 2

а) Определете на какво разстояние от лещата и къде се получава образът на предмета. Сравнете големината на образа и ориентацията му с тази на предмета. (3 точки)

За да намерим образа на върха на предмета (т. А), използуваме лъчите 1 и 2 (виж Фиг. 3). Първият е успореден на оптичната ос. Вторият преминава през фокуса $F$ на събирателната леща. Лъчът 1 след пречупването си в лещата попада във фокуса $F'$, където е поставено плоското огледало. Ъгълът на падане на лъча 1 е равен на ъгъла му на отражение, поради което той попада в точката $C'$ на лещата ($CO = C'O$). Като лъч, който излиза от фокуса на лещата, след пречупването си в нея, той се движи успоредно на главната оптична ос. След пречупването си в лещата, лъчът 2 се движи успоредно на главната оптична ос, отразява се в огледалото и се връща по същия оптичен път. Пресичането на двата лъча дава образа на върха на предмета.

Основата на предмета (т. В) е върху оптичната ос и остава върху нея. Тъй като триъгълниците $ABF$ и $A'B'F$ са еднакви, то търсеното разстояние е:

Големината на образа е равна на големината на предмета. Образът е действителен и обърнат.

б) Намерете разстоянието между образа и лещата, ако предметът се намира на разстояние $a' = 0{,}25\,$m от събирателната леща? Сравнете големината на образа и ориентацията му с тази на предмета. (4 точки)

Образът $A'B'$ на предмета $AB$ се наблюдава там, където се пресичат лъчите, напуснали лещата, или техните продължения. Построяваме лъч 1 ($AC$), успореден на оптичната ос (Фиг. 4). След пречупване от лещата, той минава през задния фокус $F'$, отразява се от огледалото и пречупвайки се отново през лещата, той отново е успореден на оптичната ос. $CO = C'O$. Построяваме втори лъч 2, минаващ през предния фокус $F$. След пречупване от лещата, той е успореден на оптичната ос и отразявайки се от огледалото, се връща по същия път. Продълженията на лъчите 1 и 2 се пресичат в точка $A'$. Тъй като $AB=CO=C'O=A'B'$, триъгълниците $ABF$ и $A'B'F$ са еднакви. Следователно $BF=B'F$. Тогава $B'O = FB' - FO = BF - FO = (BO - FO) - FO = BO - 2f = 25$ cm $- 20$ cm $= 5$ cm.

Следователно образът се намира на 5 cm зад лещата, точно по средата между лещата и огледалото. Той е със същата големина и е обърнат и недействителен.

в) Намерете мястото, големината и ориентацията на образа, ако предметът се намира на разстояние $a'' = 0{,}10$ m от събирателната леща (в предния фокус), а огледалото е изместено на 0,05 m зад събирателната леща (между лещата и задния фокус)? (3 точки)

Построяваме лъч 1 ($AC$), успореден на оптичната ос (Фиг. 5). След пречупване от лещата, той би преминал през задния фокус $F'$, но преди това се отразява от огледалото в т. $M$. Спускаме от т. $М$ перпендикуляр към лещата. Тъй като по условие $OP=PF'$, триъгълниците $CNM$ и $MPF'$ са еднакви. Следователно $MP = CN$. Триъгълниците $CNM$ и $ONM$ също са еднакви, следователно $ON = CN = MP$. Така доказваме, че т. $О$ лежи на оптичната ос и е център на лещата. Следователно лъчът $MO$ не се пречупва.

Построяваме втори лъч 2, минаващ през центъра на лещата т. $О$. Той не се пречупва и достига огледалото в т. $R$. Отразявайки се, той достига лещата в т. $C'$. Отново може да се докаже, че триъгълниците $OSR$, $C'SR$ и $RPF'$ са еднакви, следователно продължението на $C'R$ минава през задния фокус $F'$. Тогава вторият лъч пречупвайки се втори път през лещата, става успореден на оптичната ос. Двата лъча се пресичат в т. $A'$. Триъгълниците $ACO$, $F'OC$, $F'OC'$ и $A'C'O$ също са еднакви така, че $AC = A'C'$ и $AB = CO = C'O = A'B'$. Следователно образът е на същото разтояние от лещата като предмета, обърнат е, има същата големина и е действителен.