Съдържание

НПСФ 2012, 7. клас — Задача 3. Козметично огледало

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2012

Национално пролетно състезание по физика, Шумен, 11.04.2012 г. — Тема за 7. клас · 11 април 2012 г. · 10 т.

Условие

Суетна ученичка разглежда очите си в козметично огледало и забелязва, че изглеждат два пъти по-големи, отколкото са в действителност. Очите на ученичката са на разстояние $a\ = 10\ \mathrm{cm}$ от огледалото.

А) Какъв тип е огледалото – вдлъбнато или изпъкнало? Обяснете! [2 т.]

Б) На какво разстояние $b$ се намира образът на очите й от огледалото? [2 т.]

В) Колко е фокусното разстояние $f$ на огледалото? [1 т.]

Г) Колко е радиусът $r$ на огледалото? [1 т.]

Д) На фиг. 3 са дадени положенията на едното око на ученичката, неговият образ и главната оптична ос на огледалото. Намерете с геометрични построения, като ги начертаете и опишете тяхната последователност, положенията на оптичния център $O$ на огледалото, върха $M$ на огледалото (точката, в която главната оптична ос пресича огледалото) и неговия фокус $F$ . [4 т.]

Хоризонтална права (главна оптична ос) и над нея две изображения на око — по-малко вляво и по-голямо вдясно. — Фиг. 3 — окото на ученичката (вляво), неговият увеличен образ (вдясно) и главната оптична ос на огледалото.

Отговори

Решение

А) Огледалото е вдлъбнато, защото изпъкналите огледала винаги дават умален образ. [2 т]

Б) Нека $AH \perp X_1X_2$ и $BC \perp X_1X_2$ . По условие $HM = a$ , $MC = b$ и $BC = 2AH$ . Следователно, ако построим права, минаваща през т. $A$ и успоредна на $X_1X_2$ , тя ще пресича $BC$ в т. $E$ , като $BE = EC$ . Лъч, падащ перпендикулярно на огледалото, след отражение ще премине през оптичния център $O$ . Следователно точките $O$ , $A$ и $B$ лежат на една права. Тогава триъгълниците $OHA$ и $AEB$ са еднакви и $OH = AE = HC$ . Така, за радиус $r$ на огледалото получаваме $r = OM = OH + HM = HC + HM = a + b + a = 2a + b$ . Лъчът $AG$ , след отражение от огледалото, преминава през фокуса $F$ . Потеже триъгълниците $FMG$ и $GEB$ са еднакви, то $f = FM = GE = MC = b$ . Тъй като за огледалата $r = 2f$ , получаваме, че $2a + b = 2b$ , следователно $b = 2a = 20\ \mathrm{cm}$ . [2 т]

Геометрично построение с вдлъбнато огледало: ос X1X2 с точки O, F, H, M, C; окото A вляво, образът B вдясно, лъчи през M и G и помощни точки D и E. — Построението към Задача 3: главна оптична ос $X_1X_2$ , оптичен център $O$ , фокус $F$ , връх $M$ , окото $A$ и неговият образ $B$ , помощните точки $C$ , $D$ , $E$ , $G$ , $H$ .

В) Фокусното разстояние $f$ на огледалото е $f = b = 20\ \mathrm{cm}$ . [1 т]

Г) Радиусът $r$ на огледалото е $r = 2f = 40\ \mathrm{cm}$ . [1 т]

Д) Определяме положенията на оптичния център $O$ на огледалото, върха $M$ на огледалото (точката, в която главната оптична ос пресича огледалото) и неговия фокус $F$ чрез следните построения:

Построяваме правата $AB$ . Тя пресича $X_1X_2$ в т. $O$ - оптичния център. [1 т]
Построяваме т. $D$ , огледална на т. $B$ спрямо $X_1X_2$ . Построяваме правата $AD$ . Нека тя пресича $X_1X_2$ в т. $M$ . Тъй като триъгълниците $MCD$ и $MCB$ са еднакви, то правите $AD$ и $BM$ сключват равни ъгли с $X_1X_2$ . Следователно т. $M$ е връх на огледалото. [2 т]
Фокусът $F$ може да се построи по два начина – или като среда на отсечката $OM$ , или като пресечна точка на правата $BG$ с $X_1X_2$ . [1 т]

Оригинал в Архива: proletni_2012_7problems.pdf · официални решения: proletni_2012_7solutions.pdf