НПСФ 2012, 10. клас — Задача 1. Отражения в призма

• а) $9\alpha + \alpha = 90^\circ \;\Rightarrow\; \alpha = 9^\circ$

• б) $\sin\varphi_{\mathrm{ПВО}} = \frac{1}{\mathrm{n}} = \frac{2}{3} \;\Rightarrow\; \varphi_{\mathrm{ПВО}} \approx 41{.}8^\circ,\quad 4\alpha < \varphi_{\mathrm{ПВО}} < 5\alpha$

  Първите 4 отражения не са пълни, а следващите 5 са пълни вътрешни отражения.

• в) 4

  Два лъча излизат от задната стена (от местата на първото и третото отражение) и два лъча — от предната стена (от местата на второто и четвъртото отражение).

а) Ъгълът на падане върху задната стена за първото отражение е $\alpha$ [0.5 т.], ъгълът на падане върху предната стена за второто отражение е $2\alpha$ [0.5 т.], ..., ъгълът на падане върху задната стена за деветото отражение е $9\alpha$ [1 т.]. Тъй като нормалата на задната стена сключва ъгъл $\alpha$ с хоризонталата, то след деветото отражение отразения лъч ще е вертикален, ако $9\alpha + \alpha = 90^\circ$, следователно $\alpha = 9^\circ$. [3 т.]

б) За да има пълно вътрешно отражение ъгълът на падане $\varphi \ge \varphi_{\mathrm{ПВО}}$ [0.5 т.], или $\sin\varphi \ge \sin\varphi_{\mathrm{ПВО}} = \dfrac{1}{\mathrm{n}} = \dfrac{2}{3}$. [1 т.] Следователно $\varphi \ge 41{,}8^\circ$. Това означава, че $4\alpha < \varphi_{\mathrm{ПВО}} < 5\alpha$ [0.5 т.]. Следователно първите 4 отражения не са пълни, а следващите 5 – пълни. [1 т.]

в) Тъй като лъчите последователно се отразяват от задната и предната стена, то два лъча ще излизат от задната стена (от местата на първото и третото отражение) и два лъча ще излизат от предната стена (от местата на второто и четвъртото отражение) [2 т.]