НПСФ 2012, 10. клас — Задача 2. Махало в кондензатор

• а) $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{k}}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{\mathrm{mdl}}{\mathrm{qU}}}$

  Квазиеластичен коефициент $\mathrm{k} = \dfrac{\mathrm{qU}}{\mathrm{ld}}$.

• б) $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\mathrm{mdl}\varepsilon_0 \mathrm{S}}{\mathrm{qQd}}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{\mathrm{ml}\varepsilon_0 \mathrm{S}}{\mathrm{qQ}}}$

  При разкачен кондензатор зарядът $\mathrm{Q}$ се запазва, периодът не зависи от $\mathrm{d}$.

• в) $\dfrac{T'}{T} = \sqrt{2}$ ≈ $1.41421356237$ пъти (увеличение на T)

  При постоянно напрежение $T \propto \sqrt{\mathrm{d}}$, така че периодът се увеличава $\sqrt{2}$ пъти.

а) При отклонение на малък ъгъл $\alpha$ връщащата сила е $\mathrm{F} = -\mathrm{qE}\sin\alpha$, където $\mathrm{E} = \dfrac{\mathrm{U}}{\mathrm{d}}$ е интензитета на електричното поле между плочите на кондензатора.

Отклонението от равновесие може да се изрази като $\mathrm{x} = \mathrm{l}\sin\alpha$ (виж Фиг.3). От общия вид на квазиеластичната сила $\mathrm{F} = -\mathrm{kx}$ определяме коефициента $\mathrm{k} = \dfrac{\mathrm{qU}}{\mathrm{ld}}$. За периода на малки трептения около равновесното положение получаваме $\mathrm{T} = 2\pi\sqrt{\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{k}}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{\mathrm{mdl}}{\mathrm{qU}}}$ [4 т.].

б) Тъй като кондензаторът е разкачен от източника на напрежение, при промяна на разстоянието между плочите му се мени напрежението между клемите на кондензатора, а натрупаният върху него заряд $\mathrm{Q}$ се запазва [1 т.]. Нека $\mathrm{C} = \dfrac{\varepsilon_0 \mathrm{S}}{\mathrm{d}}$ е капацитетът на кондензатора, където $\mathrm{S}$ е площта на плочите му, а $\varepsilon_0$ - диелектричната проницаемост на вакуума. Следователно $\mathrm{U} = \dfrac{\mathrm{Q}}{\mathrm{C}} = \dfrac{\mathrm{Qd}}{\varepsilon_0 \mathrm{S}}$ и за периодът получаваме $\mathrm{T} = 2\pi\sqrt{\dfrac{\mathrm{mdl}\varepsilon_0 \mathrm{S}}{\mathrm{qQd}}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{\mathrm{ml}\varepsilon_0 \mathrm{S}}{\mathrm{qQ}}}$, което показва че той не зависи от $\mathrm{d}$ и няма да се промени в този случай [3 т.].

в) При постоянно свързан кондензатор към батерията, напрежението върху него остава постоянно. Като отчетем, че $\mathrm{T} = 2\pi\sqrt{\dfrac{\mathrm{mdl}}{\mathrm{qU}}}$, при двойно увеличение на $\mathrm{d}$ той ще се увеличи $\sqrt{2}$ пъти [2 т.].