Съдържание

НПСФ 2012, 11–12 клас — Задача 3. Скорост на светлината

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2012

Национално пролетно състезание по физика 2012, Тема за 11. – 12. клас · 11 април 2012 г. · 10 т.

Условие

(двете части са независими)

Скоростта на светлината във вакуум c, е физична константа, важна в много области на физиката. Ще разгледаме два известни исторически експеримента за определяне на скоростта на светлината във вакуум.

Част 1.

През 17 век датският астроном Олаф Рьомер първи измерва скоростта на светлината. Той забелязал, че през различно време на годината Йо (спътник на Юпитер) има различен период на обикаляне около Юпитер. Времето (T) за две последователни излизания на Йо от сянката на Юпитер е различно в зависимост от времето през годината. То е най-голямо ( $\mathrm{T_A}$ ), когато Земята е в точка А от траекторията си и се отдалечава от Юпитер (Фигура 3а), а най-малко ( $\mathrm{T}_{\text{Б}}$ ), когато Земята е в точка Б от траекторията си и се приближава към Юпитер (Фигура 3а). Ако скоростта, с която се движи Земята по кръгова орбита с радиус $\mathrm{R}$ , е $\mathrm{V}$ , радиусът на орбитата на Юпитер е $\mathrm{L}$ , то намерете:

а) формула, която изразява скоростта на светлината в експеримента на Рьомер? [5 т.]

Фигура 3а: Слънце, Земя в точки А и Б със скорост v, радиуси R и L, Юпитер и Йо; долната дясна част е застъпена от втори, изместен екземпляр на Фигура 3б, както е отпечатано.

Забележка. Пропорциите във Фигура 3а не са реални и фигурата служи само за да се пояснят основните означения. На практика можете да пренебрегнете радиуса на Слънцето, Земята, Юпитер и орбитата на Йо около Юпитер в сравнение с $\mathrm{R}$ и $\mathrm{L}$ .

Част 2.

Друг известен експеримент за определяне на c e опитът на Физо. В опита на Физо лъч, идващ от източник на светлина, се отразява в полупрозрачно огледало, преминава през зъбите на въртящо се колело, изминава разстояние $\mathrm{L} = 8{,}66\ \mathrm{km}$ , отразява се от огледало и отново се връща към зъбното колело (Фигура 3б). Ако при връщането си светлината попада между зъбите на колелото, светлината се вижда от наблюдател, а ако попада върху зъбите, не се вижда. Намерете:

б) стойността за скоростта на светлината в експеримента на Физо, ако дискът има $\mathrm{N} = 720$ зъба с ширина, равна на ширината на процепите между тях, и най-малката честота, при която светлината не се вижда от наблюдател при въртене на колелото, е $\nu = 12{,}5\ \mathrm{Hz}$ ? [3 т.]

в) при какви честоти на въртене на колелото светлината ще се вижда с максимална интензивност? [2 т.]

Фигура 3б. Цялата схема на експеримента на Физо.

Решение

Част 1.

а) Рьомер разбира, че ефектът на различният период на обикаляне на Йо е заради крайната скорост на светлината.

Нека да видим как се е преместила Земята за две последователни излизания на Йо от сянката на Юпитер (Фигура 3). Нека първото излизане на Йо от сянката на Юпитер да става в момент $\mathrm{t}_1$ , а второто в момент $\mathrm{t}_2$ , тогава периодът на обиколка на Йо около Юпитер за наблюдател, който е на Юпитер, ще е

\mathrm{T} = \mathrm{t}_2 - \mathrm{t}_1 \quad \textbf{[0.5т]}

Фигура 3. Земята в моменти t₁ и t₂, Юпитер, Йо и разстоянието S.

За наблюдател на Земята моментът, в който Йо изгрява за първи път, е

\mathrm{t'}_1 = \mathrm{t}_1 + \mathrm{S}/\mathrm{c} \quad \textbf{[0.5 т]}

А моментът, в който Йо изгрява за втори път, ще е

\mathrm{t'}_2 = \mathrm{t}_2 + \frac{\mathrm{S} \pm \mathrm{V}(\mathrm{t}_2 - \mathrm{t}_1)}{\mathrm{c}} \quad \textbf{[0.5 т]}

Където знака - или + се определя от това, дали Земята се движи в посока на Юпитер или се отдалечава от него. Тогава може лесно да пресметнем периода на обикаляне на Йо около Юпитер, когато Земята е в точка А и в точка Б:

\mathrm{T_A} = \mathrm{T}\left(1 + \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{c}}\right) \quad \textbf{[1 т]}

\mathrm{T}_{\text{Б}} = \mathrm{T}\left(1 - \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{c}}\right) \quad \textbf{[1 т]}

Или за скоростта на светлината имаме:

\mathrm{c} = \frac{\left(\mathrm{T_A} + \mathrm{T}_{\text{Б}}\right)\mathrm{V}}{\mathrm{T_A} - \mathrm{T}_{\text{Б}}} \quad \textbf{[1.5 т]}

Част 2.

б) Нека за времето, което светлината изминава пътя от зъбното колело до огледалото и обратно, зъбното колело се е завъртяло така, че на мястото на прореза е дошъл съседния зъб. Тогава светлината изцяло се блокира и не се вижда от наблюдателя.

\mathrm{t} = \frac{2\mathrm{L}}{\mathrm{c}} = \frac{1}{2\mathrm{N}\nu} \quad \textbf{[1т]} \;\Rightarrow\;

\mathrm{c} = 4\mathrm{L}\mathrm{N}\nu \quad \textbf{[1т]}

Или числено имаме:

\mathrm{c} = 4.8{,}66\ \mathrm{km}.720.12{,}5\ \mathrm{s}^{-1} \approx 312\,000\ \mathrm{km/s} \quad \textbf{[1т]}

в) Ако за времето, за което светлината изминава пътя от зъбчатото колело до огледалото и обратно, зъбното колело се е преместило така, че вместо първия прорез се намира К-тия прорез, то светлината отново е видима. Това става при следното равенство на времената и новата честота на въртене $\eta$ на колелото:

\mathrm{t} = \frac{2\mathrm{L}}{\mathrm{c}} = \frac{\mathrm{K}}{\mathrm{N}\eta}, \quad \mathrm{K} = 1,2,3,\ldots \quad \textbf{[1т]} \;\Rightarrow\;

\eta = 2\mathrm{K}\nu \quad \textbf{[1т]}

Оригинал в Архива: proletni_2012_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2012_11-12solutions.pdf