Съдържание

НПСФ 2012, 11–12 клас — Задача 2. Тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2012

Национално пролетно състезание по физика 2012, Тема за 11. – 12. клас · 11 април 2012 г. · 10 т.

Условие

Тяло е хвърлено с начална скорост $\mathrm{v}_0$ под ъгъл $\alpha$ спрямо хоризонта от място с нулева височина.

а) Ако оста x на една координатна система (чието начало съвпада с мястото на хвърляне) е хоризонтална, а оста y е вертикална, то намерете уравнението на траекторията $\mathrm{y}(\mathrm{x})$ на тялото. [3 т.]

б) ако на разстояние $\mathrm{L} = 0{,}200\ \mathrm{m}$ от мястото на хвърляне се намира преграда с височина $\mathrm{H} = 0{,}100\ \mathrm{m}$ и $\alpha = 45{,}0^\circ$ , изчислете каква трябва да е минималната скорост $\mathrm{v}_{\min 1}$ на тялото за да прелети над преградата? Земното ускорение e $\mathrm{g} = 10{,}0\ \mathrm{m/s}^2$ . [3 т.]

в) Изчислете под какъв ъгъл $\beta$ трябва да се хвърли тялото с начална скорост $\mathrm{v}_{\min 2}$ така, че да може да прелети над преградата, а при хвърляне под други ъгли със същата скорост, да не може? [2 т.]

г) Изчислете тази скорост $\mathrm{v}_{\min 2}$ . [2 т.]

Решение

а) Проекцията на скоростта по x е $\mathrm{v_x} = \mathrm{v}_0\cos\alpha$ [0.5 т], а координатата x се изменя с времето така: $\mathrm{x}(\mathrm{t}) = \mathrm{v}_0\cos\alpha.\mathrm{t}$ [0.5 т]. Проекцията на скоростта по y е $\mathrm{v_y} = \mathrm{v}_0\sin\alpha$ [0.5 т], а координатата y се изменя с времето така: $\mathrm{y}(\mathrm{t}) = \mathrm{v}_0\sin\alpha.\mathrm{t} - \dfrac{1}{2}\mathrm{g}\mathrm{t}^2$ [0.5 т]. Елиминирайки времето от двата закона за пътя получаваме

\mathrm{y}(\mathrm{x}) = \mathrm{x}\tan\alpha - \frac{\mathrm{g}\mathrm{x}^2}{2\mathrm{v}_0^{\,2}\cos^2\alpha} \qquad (2.1). \quad \textbf{[1 т]}

б) За да прелети тялото над преградата, трябва при $\mathrm{x} = \mathrm{L}$ , $\mathrm{y} \ge \mathrm{H}$ [0.5 т]. Замествайки в (2.1) се получава

\mathrm{v}_0 \ge \sqrt{\frac{\mathrm{g}\mathrm{L}^2}{2\cos^2\alpha(\mathrm{L}\tan\alpha - \mathrm{H})}} \qquad (2.2) \quad \textbf{[1 т]}.

Замествайки с дадените стойности, $\mathrm{v}_0 \ge 2\ \mathrm{m/s}$ или $\mathrm{v}_{\min 1} = 2\ \mathrm{m/s}$ . [1.5 т]

в) При фиксирани L и H, скоростта $\mathrm{v}_{\min 2}$ ще съответства на такъв ъгъл $\beta$ , при който знаменателят на (2.2) има максимум, т.е функцията $\mathrm{f}(\alpha) = \cos^2\alpha(\mathrm{L}\tan\alpha - \mathrm{H})$ има максимум [0.5 т]. Тя може да се преобразува до $\mathrm{f}(\alpha) = \dfrac{\mathrm{L}}{2}\sin 2\alpha - \dfrac{\mathrm{H}}{2}\left(1 + \cos 2\alpha\right)$ . Необходимо условие тази функция да има максимум е нейната производна да е нула, т.е.

\frac{\mathrm{d}\mathrm{f}(\alpha)}{\mathrm{d}\alpha} = \mathrm{L}\cos 2\alpha + \mathrm{H}\sin 2\alpha = 0 \quad \textbf{[0.5 т]}.

Следователно $\tan 2\beta = -\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{H}}$ [0.5 т]. Замествайки с дадените стойности $\beta \approx 58.3^\circ$ [0.5 т].

г) Замествайки с получената стойност за $\beta$ в (2.2), получаваме за $\mathrm{v}_{\min 2} \approx 1{,}80\ \mathrm{m/s}$ . [2 т]

Алтернативно решение на подусловия в) и г) без използване на производна:

Замествайки в (2.1) с $\mathrm{x} = \mathrm{L}$ , $\mathrm{y} = \mathrm{H}$ , и изразявайки $\cos\alpha$ чрез $\tan\alpha$ : ( $\frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \tan^2\alpha$ ), се получава квадратно уравнение за $\tan\alpha$ :

\mathrm{g}\mathrm{L}^2\tan^2\alpha - 2\mathrm{L}\mathrm{v}_0^{\,2}\tan\alpha + \mathrm{g}\mathrm{L}^2 + 2\mathrm{H}\mathrm{v}_0^{\,2} = 0.

За да има решение, дискриминантата му трябва да е по-голяма или равна на нула: $\mathrm{D} = 4\mathrm{L}^2\mathrm{v}_0^{\,4} - 4\mathrm{g}\mathrm{L}^2\left(\mathrm{g}\mathrm{L}^2 + 2\mathrm{h}\mathrm{v}_0^{\,2}\right) \ge 0$ . След опростяване се стига до неравенството $\mathrm{v}_0^{\,4} - 2\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{v}_0^{\,2} - \mathrm{g}^2\mathrm{L}^2 \ge 0$ . Минималната скорост съответства на

\mathrm{v}_{\min 2} = \sqrt{\mathrm{g}\left(\mathrm{H} + \sqrt{\mathrm{H}^2 + \mathrm{L}^2}\right)} \approx 1{,}80\ \mathrm{m/s}.

Оптималният ъгъл $\beta$ се намира от решението на квадратното уравнение за $\tan\alpha$ :

\tan\beta = \frac{\mathrm{H} + \sqrt{\mathrm{H}^2 + \mathrm{L}^2}}{\mathrm{L}}, \qquad \beta \approx 58.3^\circ.

Оригинал в Архива: proletni_2012_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2012_11-12solutions.pdf