НПСФ 2012, Специална тема — Задача 3. Затихващи електромагнитни трептения

Национално състезание по физика, Шумен, 11 април 2012 г. — Специална тема · 11 април 2012 г. · 10 т.

Условие

Кондензатор с капацитет $C = 0{,}100\ \mu\mathrm{F}$ и соленоид (бобина) с индуктивност $L = 100\ \mathrm{mH}$ и собствено съпротивление $R = 10{,}0\ \Omega$ са свързани успоредно към идеален източник на напрежение с електродвижещо напрежение $E = 10{,}0\ \mathrm{V}$. Така свързани те са стояли дълго време.

Загубите на енергия чрез излъчване се пренебрегват.

Полезна математика:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{a}x}\right) = \mathrm{a}\,\mathrm{e}^{\mathrm{a}x},$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\cos\left(\mathrm{a}x\right)\right] = -\mathrm{a}\sin\left(\mathrm{a}x\right), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(\mathrm{a}x\right)\right] = \mathrm{a}\cos\left(\mathrm{a}x\right)$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\mathrm{f}(x).\mathrm{g}(x)\right] = \left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{f}(x)\right].\mathrm{g}(x) + \mathrm{f}(x).\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{g}(x)\right]$

а) начертайте схемата и изчислете установените постоянни напрежение $U_0$ на кондензатора и ток $I_0$ през бобината. [1 т.]

б) в момента време $t = 0$ източникът на напрежение се разкачва от останалата част на схемата. Пренебрегвайки съпротивлението на бобината, намерете периодът $T_0$ на възникналите електромагнитни трептения и максималните напрежение $U_\mathrm{max}$, до което се зарежда кондензатора и ток $I_\mathrm{max}$, който протича през бобината. [2 т.]

в) ако решението на уравнението $\dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\beta\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^{\,2}x = 0$ е от тип $x(t) = A\mathrm{e}^{-\varkappa t}\cos\left(\omega t + \varphi\right)$ изразете неизвестните параметри $\varkappa$ и $\omega$ в решението чрез дадените параметри $\beta$ и $\omega_0$ в уравнението. [2 т.]

г) използвайки решението от подусловие в), намерете точната (отчитайки съпротивлението $R$) зависимост на заряда $q(t)$ на плочите на кондензатора от времето. Изчислете точния период $T$ на електромагнитните трептения и началната фаза $\varphi$. [3 т.]

д) изчислете времето $\tau$ (в секунди и брой периоди), за което енергията в трептящия кръг намалява 2 пъти. [1 т.]

е) начертайте графиката на зависимостта на напрежението $U(t)$ на кондензатора от времето. [1 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2012_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2012_STsolutions.pdf