Съдържание

НПСФ 2012, Специална тема — Задача 2. Брауново движение

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2012

Национално състезание по физика, Шумен, 11 април 2012 г. — Специална тема · 11 април 2012 г. · 10 т.

Условие

Брауновото движение е хаотично топлинно движение на фини частици (т. нар. Браунови частици) поради случайните им удари с молекулите на обкръжаващата ги среда. Всъщност, Брауновата частица може да се разглежда като една гигантска молекула, за чието движение са в сила основните закони на молекулно-кинетичната теория.

*Упътване към задачата. За една величина X, която приема случайни положителни стойности, можете да приемете, че $\overline{X^2} \approx \left(\overline{X}\right)^2$ , т.е. средната стойност на нейния квадрат е приблизително равна на квадрата от нейната средна стойност. В конкретната задача това приближение води до грешка от порядъка на 10% за търсените средни стойности.

Физични константи. Константа на Болцман: $k_\mathrm{B} = 1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J/K}$ .

А) Сферична неразтворима Браунова частица с диаметър $d = 1.0\ \mu\mathrm{m}$ и плътност $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ извършва Брауново движение във вода при температура $T = 300\ \mathrm{K}$ . Оценете средната скорост $\overline{v}$ на топлинно движение на частицата*. [3 т.]

Б) Поради случайния характер на ударите на молекулите в Брауновата частица, нейната траектория е сложна начупена линия. Приемете, че между два поредни удара частицата се движи праволинейно, като изминава едно и също разстояние – т. нар. свободен пробег $l$ , а посоката й на движение след даден удар сключва с посоката й на движение преди удара случаен ъгъл $\theta$ между $0^\circ$ и $180^\circ$ (вж. Фиг. 2.1). На какво средно разстояние $\overline{R}_\mathrm{N}$ ще се отдалечи частицата от началното си положение след голям брой удари $N$ с молекулите на водата. Изразете отговора чрез $l$ и $N$ . [3 т.]

Начупена траектория на Браунова частица: отсечки с дължина l, ъгъл θ между две последователни посоки и резултантно преместване R_N от началната точка. — Фиг. 2.1

В) В началния момент ( $t = 0$ ) три еднакви Браунови частици, подобни на частицата, описана в т. А, се намират в центъра на координатната система ( $X = 0$ , $Y = 0$ ). Движението им се наблюдава под микроскоп, като се фотографират през интервали време $\Delta t = 100\ \mathrm{s}$ , както е показано на четирите кадъра от Фиг. 2.2. Като използвате данните от снимките, оценете свободния пробег $l$ на Брауновите частици, както и средното време $\tau$ между последователните им удари с молекулите на водата.

При решаването на тази подточка можете (но не е задължително) да използвате празната координатна мрежа, дадена на Фиг. 2.3. В този случай предайте листа с построените от Вас графики заедно с останалите листа от решението!. [4 т.]

Четири кадъра (t = 100, 200, 300 и 400 s) с положенията на три Браунови частици в координатна система X, Y в микрометри. — Фиг. 2.2 — Предайте листа заедно с решението на зад. 2!

Празна координатна (милиметрова) мрежа за построяване на графика. — Фиг. 2.3 (Използвайте, ако решението налага)

Отговори

Решение

А) Движението на центъра на масата на частицата е свързано с три степени на свобода и следователно средната кинетична енергия на това движение е:

(1)\qquad \overline{E}_\mathrm{k} = \frac{m\overline{v^2}}{2} = \frac{3}{2}k_\mathrm{B}T

Като вземем предвид приближението за средната скорост:

(2)\qquad \overline{v^2} \approx \left(\overline{v}\right)^2,

получаваме:

(3)\qquad \overline{v} = \sqrt{\frac{3k_\mathrm{B}T}{m}}

Понеже:

(4)\qquad m = \frac{\pi\rho d^3}{6},

намираме:

(5)\qquad \overline{v} = \sqrt{\frac{18k_\mathrm{B}T}{\pi\rho d^3}} = 4.9\times10^{-3}\ \mathrm{m/s}.

Б) Общото преместване на частицата след $N$ удара е:

(6)\qquad \vec{R} = \vec{l}_1 + \ldots + \vec{l}_\mathrm{N},

където $\vec{l}_\mathrm{i}$ е векторът на преместване от N-тия до $N_1{+}1$ -вия удар, като по модул $l_\mathrm{i} = l$ . Повдигаме равенството на квадрат и получаваме:

(7)\qquad R^2 = Nl^2 + \sum_{i,j}\vec{l}_\mathrm{i}\cdot\vec{l}_\mathrm{j}.

Понеже $\vec{l}_\mathrm{i}\cdot\vec{l}_\mathrm{j} = l^2\cos\theta$ , а $\theta$ приема случайни стойности от $0^\circ$ до $180^\circ$ , следва, че $\cos\theta$ приема случайни стойности от $-1$ до $+1$ . Следователно:

(8)\qquad \overline{\cos\theta} = 0.

Това означава, че средностатистически двойната сумата от формула (15) е нула. Тогава за средното преместване след $N$ удара имаме:

(9)\qquad \overline{R_\mathrm{N}^2} = Nl^2

или в рамките на приетото приближение:

(10)\qquad \overline{R}_\mathrm{N} = l\sqrt{N}

В) За време $t$ частицата претърпява:

(11)\qquad N = t/\tau

удара. От друга страна, средното време между два удара е:

(12)\qquad \tau = l/\overline{v}.

Следователно зависимостта (9) се записва като следната функция на времето:

(13)\qquad \overline{R^2(t)} = l\overline{v}t

Отчитаме по графиките координатите на частиците в различните моменти от време и пресмятаме средния квадрат на преместването на трите частици:

(14)\qquad \overline{R^2(t)} = \frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3}\left(x_\mathrm{i}^2(t) + y_\mathrm{i}^2(t)\right)

Резултатите са нанесени в таблицата по-долу:

$t$ (s)	$X$ ( $\mu$ m)	$Y$ ( $\mu$ m)	$R^2$ ( $\mu$ m $^2$ )	$\langle R^2\rangle$ ( $\mu$ m $^2$ )	$D$ ( $\mu$ m $^2$ /s)
100	0	5	25	1017	10.2
	10	-35	1325
	40	-10	1700
200	-45	25	2650	1850	9.3
	-25	15	850
	-5	-45	2050
300	0	-30	900	4508	15.0
	60	-50	6100
	75	-30	6525
400	-45	15	2250	5175	12.9
	-45	-35	3250
	-5	-100	10025

Определянето на $l$ може да стане по два начина.

І начин

За всеки от четирите момента пресмятаме:

(15)\qquad D = \frac{\overline{R^2(t)}}{t},

където $D = l\overline{v}$ и нанасяме резултатите в отделна колона на таблицата. Средната стойност на $D$ за набора измервания е:

(16)\qquad \overline{D} \approx 12\ \mu\mathrm{m^2/s} = 1.2\times10^{-11}\ \mathrm{m^2/s},

а средноквадратичната грешка:

(17)\qquad \Delta D \approx 3\ \mu\mathrm{m^2/s} = 0.3\times10^{-11}\ \mathrm{m^2/s},

т.е.

(18)\qquad D = \left(1.2 \pm 0.3\right)\times10^{-11}\ \mathrm{m^2/s}.

Така определяме свободния пробег $l$ :

(19)\qquad l = \frac{D}{\overline{v}} = \left(2.4 \pm 0.6\right)\times10^{-9}\ \mathrm{m}

и среднато време между ударите:

(20)\qquad \tau = \frac{l}{\overline{v}} = \left(4.9 \pm 1.2\right)\times10^{-7}\ \mathrm{s}

ІІ начин

Представяме графично зависимостта на $\overline{R^2}$ от $t$ и прекарваме по данните права линия, минаваща през координатното начало.

Графика на средния квадрат на преместването спрямо времето с четири точки и права линия през началото, ограничена от две прекъснати линии. — Графична обработка (ІІ начин): средният квадрат на преместването като функция на времето, с права през координатното начало и граници на грешката.

Определяме $D$ като коефициент на наклона на правата:

(21)\qquad D = \left(1.3 \pm 0.2\right)\times10^{-11}\ \mathrm{m^2/s},

а стойностите на $l$ и на $\tau$ , както по първия начин:

(22)\qquad l = \frac{D}{\overline{v}} = \left(2.7 \pm 0.4\right)\times10^{-9}\ \mathrm{m}

(23)\qquad \tau = \frac{l}{\overline{v}} = \left(5.5 \pm 0.8\right)\times10^{-7}\ \mathrm{s}

Схема на оценяване на задача 2

Елемент от решението / подусловие	Точки
Прилага формулата за средна кинетична енергия с 3 степени на свобода	1.0
Изразява масата на частицата чрез плътността и диаметъра	0.5
Получава израз за средната скорост	1.0
Пресмята числено средната скорост	0.5
Общо по т. А	3.0
Представя общото преместване като сума от елементарни премествания	0.5
Получава израз за квадрата на преместването	1.0
Обосновава, че $\overline{\cos\theta} = 0$	1.0
Получава израз за средното преместване	0.5
Общо по т. Б	3.0
Изразява $\overline{R^2}$ като функция на $t$ , $l$ и $v$	0.5
Снема данни за координатите и ги подрежда в таблица	1.2
Пресмята средни стойности на $R$ или на $R^2$	0.4
Обработва данните таблично или графично, за да пресметне $D$	0.5
Обработва данните таблично или графично, за да пресметне $\Delta D$	0.2
Определя $l$	0.4
Определя $\Delta l$	0.2
Определя $\tau$	0.4
Определя $\Delta\tau$	0.2
Общо по т. В	4.0
Общо за задачата	10.0

Оригинал в Архива: proletni_2012_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2012_STsolutions.pdf