Съдържание

НПСФ 2012, Специална тема — Задача 3. Затихващи електромагнитни трептения

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2012

Национално състезание по физика, Шумен, 11 април 2012 г. — Специална тема · 11 април 2012 г. · 10 т.

Условие

Кондензатор с капацитет $C = 0{,}100\ \mu\mathrm{F}$ и соленоид (бобина) с индуктивност $L = 100\ \mathrm{mH}$ и собствено съпротивление $R = 10{,}0\ \Omega$ са свързани успоредно към идеален източник на напрежение с електродвижещо напрежение $E = 10{,}0\ \mathrm{V}$ . Така свързани те са стояли дълго време.

Загубите на енергия чрез излъчване се пренебрегват.

Полезна математика:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{a}x}\right) = \mathrm{a}\,\mathrm{e}^{\mathrm{a}x},

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\cos\left(\mathrm{a}x\right)\right] = -\mathrm{a}\sin\left(\mathrm{a}x\right), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sin\left(\mathrm{a}x\right)\right] = \mathrm{a}\cos\left(\mathrm{a}x\right)

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\mathrm{f}(x).\mathrm{g}(x)\right] = \left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{f}(x)\right].\mathrm{g}(x) + \mathrm{f}(x).\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{g}(x)\right]

а) начертайте схемата и изчислете установените постоянни напрежение $U_0$ на кондензатора и ток $I_0$ през бобината. [1 т.]

б) в момента време $t = 0$ източникът на напрежение се разкачва от останалата част на схемата. Пренебрегвайки съпротивлението на бобината, намерете периодът $T_0$ на възникналите електромагнитни трептения и максималните напрежение $U_\mathrm{max}$ , до което се зарежда кондензатора и ток $I_\mathrm{max}$ , който протича през бобината. [2 т.]

в) ако решението на уравнението $\dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\beta\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^{\,2}x = 0$ е от тип $x(t) = A\mathrm{e}^{-\varkappa t}\cos\left(\omega t + \varphi\right)$ изразете неизвестните параметри $\varkappa$ и $\omega$ в решението чрез дадените параметри $\beta$ и $\omega_0$ в уравнението. [2 т.]

г) използвайки решението от подусловие в), намерете точната (отчитайки съпротивлението $R$ ) зависимост на заряда $q(t)$ на плочите на кондензатора от времето. Изчислете точния период $T$ на електромагнитните трептения и началната фаза $\varphi$ . [3 т.]

д) изчислете времето $\tau$ (в секунди и брой периоди), за което енергията в трептящия кръг намалява 2 пъти. [1 т.]

е) начертайте графиката на зависимостта на напрежението $U(t)$ на кондензатора от времето. [1 т.]

Отговори

Решение

а) за правилно начертана схема [0,5 т.]. Напрежението $U_0 = E = 10{,}0\ \mathrm{V}$ [0,25 т.], а токът $I = E/R = 1{,}00\ \mathrm{A}$ . [0,25 т.]

б) при пренебрегване на съпротивлението $R$ , трептенията са незатихващи. Следователно периодът $T = 2\pi\sqrt{LC} \approx 0{,}628$ ms, [0,5 т.] а от законът за запазване на енергията

\frac{1}{2}CU_0^{\,2} + \frac{1}{2}LI_0^{\,2} = \frac{1}{2}CU_\mathrm{max}^{\,2} = \frac{1}{2}LI_\mathrm{max}^{\,2},

откъдето $U_\mathrm{max} = \sqrt{U_\mathrm{o}^{\,2} + \dfrac{LI_\mathrm{o}^{\,2}}{C}} \approx 1000\ \mathrm{V}$ , [0,75 т.], а $I_\mathrm{max} = \sqrt{I_\mathrm{o}^{\,2} + \dfrac{CU_\mathrm{max}^{\,2}}{L}} \approx 1{,}00\ \mathrm{A}$ . [0,75 т.]

в) ако $x(t) = A\mathrm{e}^{-\varkappa t}\cos\left(\omega t + \varphi\right)$ , то

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -\varkappa A\mathrm{e}^{-\varkappa t}\cos\left(\omega t + \varphi\right) - \omega A\mathrm{e}^{-\varkappa t}\sin\left(\omega t + \varphi\right), \qquad \textbf{[0,25 т.]}

\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = \varkappa^2 A\mathrm{e}^{-\varkappa t}\cos\left(\omega t + \varphi\right) + \varkappa\omega A\mathrm{e}^{-\varkappa t}\sin\left(\omega t + \varphi\right) + \varkappa\omega A\mathrm{e}^{-\varkappa t}\sin\left(\omega t + \varphi\right) - \omega^2 A\mathrm{e}^{-\varkappa t}\cos\left(\omega t + \varphi\right) =

= \left(\varkappa^2 - \omega^2\right)A\mathrm{e}^{-\varkappa t}\cos\left(\omega t + \varphi\right) + 2\varkappa\omega A\mathrm{e}^{-\varkappa t}\sin\left(\omega t + \varphi\right). \qquad \textbf{[0,25 т.]}

Замествайки в даденото уравнение, се получава:

\left(\varkappa^2 - \omega^2\right)A\mathrm{e}^{-\varkappa t}\cos\left(\omega t + \varphi\right) + 2\varkappa\omega A\mathrm{e}^{-\varkappa t}\sin\left(\omega t + \varphi\right) +

+ 2\beta\left[-\varkappa A\mathrm{e}^{-\varkappa t}\cos\left(\omega t + \varphi\right) - \omega A\mathrm{e}^{-\varkappa t}\sin\left(\omega t + \varphi\right)\right] + \omega_0^{\,2}A\mathrm{e}^{-\varkappa t}\cos\left(\omega t + \varphi\right) = 0

След опростяване на уравнението:

\left(\varkappa^2 - \omega^2 - 2\beta\varkappa + \omega_0^{\,2}\right)A\mathrm{e}^{-\varkappa t}\cos\left(\omega t + \varphi\right) + 2\left(\varkappa - \beta\right)\omega A\mathrm{e}^{-\varkappa t}\sin\left(\omega t + \varphi\right) = 0. \qquad \textbf{[0,25 т.]}

Тъй като равенството трябва да е изпълнено за всеки момент време $t$ , то това е възможно само, ако коефициентите пред тригонометричните функции са нули. [0,5 т.] Тогава $\varkappa = \beta$ [0,25 т.] и $\omega = \sqrt{\omega_0^{\,2} - \beta^2}$ [0,5 т.].

г) тъй като сумата на напреженията по затворен контур трябва да е нула:

U_\mathrm{C} + U_\mathrm{L} + U_\mathrm{R} = \frac{q(t)}{C} + L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} + RI = 0. \qquad \textbf{[0,25 т.]}

Понеже $I = \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$ , получаваме

L\frac{\mathrm{d}^2q}{\mathrm{d}t^2} + R\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{C}q = 0 \quad \text{или} \quad \frac{\mathrm{d}^2q}{\mathrm{d}t^2} + \frac{R}{L}\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{LC}q = 0. \qquad \textbf{[0,25 т.]}

Използвайки решението от подусловие в), получаваме: $q(t) = A\mathrm{e}^{-\varkappa t}\cos\left(\omega t + \varphi\right)$ , където $\varkappa = \dfrac{R}{2L}$ [0,25 т.], а $\omega = \sqrt{\dfrac{1}{LC} - \left(\dfrac{R}{2L}\right)^2}$ [0,25 т.]. Периодът $T = \dfrac{2\pi}{\sqrt{\dfrac{1}{LC} - \left(\dfrac{R}{2L}\right)^2}} \approx 0{,}628$ ms [0,25 т.]. За да изчислим началната фаза, първо намираме $q(0) = A\cos\varphi$ [0,25 т.], а $\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}(0) = -A\varkappa\cos\varphi - A\omega\sin\varphi$ [0,25 т.]. От тези две равенства намираме

\tan\varphi = -\frac{\varkappa + \dfrac{\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}(0)}{q(0)}}{\omega} \qquad \textbf{[0,25 т.]}

Тъй като $q(0) = CE$ [0,25 т.], а $\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}(0) = -\dfrac{E}{R}$ [0,25 т.], то $\tan\varphi \approx 100$ [0,25 т.], $\varphi \approx 89{,}4^\circ$ [0,25 т.].

д) тъй като в определени моменти $t_\mathrm{i}$ от време кондензаторът е зареден до максимални стойности и токът в тези моменти е нула, то енергията на системата в тези моменти време ще бъде $W(t_\mathrm{i}) = \dfrac{q(t_\mathrm{i})^2}{2C}$ [0,25 т.], следователно енергията на системата ще зависи от времето така: $W(t) = W(0)\mathrm{e}^{-\frac{R}{L}t}$ [0,25 т.]. Енергията ще намалее 2 пъти за време

\tau = \frac{L}{R}\ln 2 \approx 6{,}93\ \mathrm{ms} \approx 11{,}0\,T. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

е) Графиката на зависимостта на напрежението $U(t)$ на кондензатора от времето изглежда така: [1 т.]

Графика на напрежение (V) спрямо време (s) от 0 до 0,010 s: синусоида с амплитуда, намаляваща от около 1000 V до около 600 V. — Напрежението върху кондензатора като функция на времето — затихващи трептения.

Оригинал в Архива: proletni_2012_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2012_STsolutions.pdf