Съдържание

НПСФ 2013, 10. клас — Задача 3. Люлеещо се топче

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2013

Национално пролетно състезание по физика 2013, Хисаря — тема за 10. клас · 16 март 2013 г. · 10 т.

Условие

Нека е дадено малко топче с маса $m$ и положителен заряд $q$ , което е окачено на тънка неразтеглива безмасова нишка с дължина $l$ , както е показано на фиг. 3. На разстояние $2l$ под точката на окачване на нишката е закрепен неподвижно отрицателен точков заряд с големина $Q$ . В началния момент от времето топчето е отклонено на малък ъгъл $\alpha$ спрямо вертикалата и оставено да се движи свободно. Като използвате, че за малки ъгли $\sin\alpha \approx \tan\alpha$ и $\cos\alpha \approx 1$ :

Махало с топче m, заряд q на нишка l, отклонено на ъгъл α, и точков заряд Q на разстояние 2l под окачването. — Фиг. 3 — топче с маса $m$ и заряд $q$ на нишка с дължина $l$ , отклонено на ъгъл $\alpha$ ; на разстояние $2l$ под точката на окачване е зарядът $Q$ .

а) Начертайте схема с ориентировъчните посоки на всички сили, които действат върху топчето в началния момент от времето. Напишете приближените изрази за големините на силите. [4 т.]

б) Определете приблизителната големина на силата, която е приложена в точката на окачване на нишката, в началния момент от времето. [1 т.]

в) Изведете формулата за периода на малките трептения на топчето. Пресметнете числената стойност на периода, ако $m = 50\ \mathrm{g}$ , $q = 1\ \mu\mathrm{C}$ , $l = 70\ \mathrm{cm}$ и $Q = 3\ \mu\mathrm{C}$ . Земното ускорение $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ , а електричната константа $k = 9\times10^9\ \mathrm{N.m^2/C^2}$ . [5 т.]

Отговори

Решение

а) Схемата с посоките на всички сили, които действат върху топчето, е изобразена на фиг. 5. [1 т.] В приближение на малко $\alpha$ $F_E \approx \dfrac{kqQ}{l^2}$ [1 т.], $G = mg$ , а $T \approx \dfrac{kqQ}{l^2} + mg$ . [2 т.]

Схема на силите T, G и F_E, действащи върху отклоненото топче, и зарядът Q под точката на окачване. — Фиг. 5 — силите, действащи върху топчето в началния момент: опъването $T$ по нишката, тежестта $G$ и кулоновата сила $F_E$ , насочена към заряда $Q$ .

б) Големината на силата, която е приложена в точката на окачване на нишката, е $T \approx \dfrac{kqQ}{l^2} + mg$ [1 т.], тъй като нишката е безмасова.

в) Резултантната сила $F$ , която действа върху топчето при движението му, е тангенциална на траекторията му и има квазиеластичен характер. [1 т.] Нейната големина е: $F \approx -mg\sin\alpha - \dfrac{kqQ}{l^2}\sin 2\alpha$ . [1 т.] Като се използват свойствата на тригонометричните функции за малки ъгли, се получава $F \approx -\left(mg + \dfrac{2kqQ}{l^2}\right)\sin\alpha$ . [1 т.] Големината на силата може да се представи по следния начин: $F \approx -\left(\dfrac{mg}{l} + \dfrac{2kqQ}{l^3}\right)x = -kx$ [1 т.], където $x$ е перпендикулярното отклонение на топчето от вертикалата, минаваща през точката на окачване на нишката. За периода се получава: $T = \dfrac{2\pi}{\sqrt{\dfrac{g}{l} + \dfrac{2kqQ}{ml^3}}} = 1,5\ \mathrm{s}$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2013_10problems.pdf · официални решения: proletni_2013_10solutions.pdf