Съдържание

НПСФ 2013, 11–12 клас — Задача 3. Еквивалентно съпротивление

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2013

Национално пролетно състезание по физика 2013, Тема за 11.–12. клас · 16 март 2013 г. · 10 т.

Условие

На трите схеми са показани вериги, съставени от еднакви резистори със съпротивление $R$ на всеки от тях. Намерете еквивалентното съпротивление $R_e$ на всяка верига между посочените по-долу точки. Начертайте съответните еквивалентни схеми на свързване, като накратко ги обосновете.

Правоъгълна верига с еднакви резистори в лявата и дясната страна и трети резистор в средата, чийто долен край е изводът A; изводът B е на долния проводник. — Схемата към подусловие А) на задача 3.

Шестоъгълна верига с върхове A, B, C, D, E, F; всяка страна е резистор и от всеки връх тръгва резистор към общата централна точка O. — Схемата към подусловие Б) на задача 3.

Тетраедър с върхове A, B, C, D, всяко от шестте ребра е резистор. — Схемата към подусловие В) на задача 3.

А) между т. $A$ и $B$ [2 т.]

Б) между двойка противоположни точки, например $F$ и $C$ [4 т.]

В) между кои да е две точки, например $A$ и $B$ [4 т.]

Отговори

Решение

А) Ако извием краищата $A$ и $B$ на еквивалентната схема, както е показано с пунктирани линии, ще получим изходната схема. Еквивалентното й съпротивление е:

R_e = R + \left(\frac{1}{R} + \frac{1}{R}\right)^{-1} = \frac{3}{2}R \qquad \textbf{[1.0 т]}

Еквивалентна схема: резистор от извод A към възел, от който два резистора са свързани успоредно към извод B; пунктирани стрелки показват как краищата A и B се извиват до изходната схема. — Еквивалентната схема към подусловие А) от решението на задача 3.

(за еквивалентната схема) [1.0 т]

Б) В показаната схема точките $O_1$ , $O_2$ и $O_3$ имат еднакви потенциали, защото се намират върху оста на симетрия на веригата. [1.0 т]

Следователно токовете и напреженията върху резисторите няма да се променят, ако трите точки бъдат свързани в една обща точка – $O$ , както в изходната схема. Еквивалентното съпротивление на веригата се получава чрез пресмятане на еквивалентните съпротивления на трите успоредно свързани клона:

R_1 = R_3 = R + R + \left(\frac{1}{2R} + \frac{1}{R}\right)^{-1} = \frac{8}{3}R \qquad \textbf{[0.5 т]}

Шестоъгълната верига, преначертана между изводите F и C; трите успоредно свързани клона R1, R2 и R3 са оградени с пунктир, а точките O1, O2 и O3 са с еднакви потенциали. — Еквивалентната схема към подусловие Б) от решението на задача 3 с трите успоредни клона $R_1$ , $R_2$ и $R_3$ .

R_2 = 2R \qquad \textbf{[0.5 т]}

R_e = \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\right)^{-1} = \frac{4}{5}R \qquad \textbf{[1.0 т]}

(за еквивалентната схема) [1.0 т]

В) Точките $C$ и $D$ имат еднакви потенциали, защото лежат върху равнина на симетрия, минаваща през страната $AB$ . [1.0 т] Следователно през резистора $CD$ не тече ток и той може да бъде махнат от схемата, без да промени напреженията и токовете върху останалите резистори. Схемата е еквивалентна на дадената. Както в предишната задача, пресмятаме съпротивленията на трите успоредно свързани клона:

R_1 = R_3 = 2R \qquad \textbf{[0.5 т]}

R_2 = R \qquad \textbf{[0.5 т]}

и тяхното еквивалентно съпротивление:

R_e = \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\right)^{-1} = \frac{1}{2}R \qquad \textbf{[1.0 т]}

(за еквивалентната схема) [1.0 т]

Ромбовидна схема с върхове A, B, C, D: два резистора от A и B към D, два резистора от A и B към C и един резистор между A и B; резисторът CD липсва. — Еквивалентната схема към подусловие В) от решението на задача 3 след премахване на резистора $CD$ .

Оригинал в Архива: proletni_2013_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2013_11-12solutions.pdf