Съдържание

НПСФ 2013, Специална тема — Задача 1. Алпийски тролей

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2013

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА · Национално състезание по физика, Хисаря, 16 март 2013 г. · Специална тема · 16 март 2013 г.

Условие

„Алпийският тролей“ е техника в алпинизма за придвижване (бързо спускане) по въже. Алпинистът е закачен за носещото въже посредством стоманено устройство, съдържащо малки макари, наречено „десандьор“. Така триенето може се сведе до минимум.
В тази задача моделът е следния. Неразтегливо въже с пренебрежима маса и дължина $l$ е закачено в двата си края на две точки, намиращи се на една и съща височина и на разстояние $d$ една от друга ( $d < l$ ). Земното ускорение е $g$ . Материална точка (тяло) с маса $m$ се хлъзга без триене по въжето. Траекторията на движението на тялото е част от елипса.

а) Изразете двете полуоси $a$ и $b$ на елипсата чрез $l$ и $d$ . [1 т.]

б) Нека преди началото на движението тялото се намира в покой точно под едната точка на окачване. Този покой се осигурява от второ спомагателно хоризонтално въже (за което е вързано тялото). Намерете силата на опън $T_1$ на носещото въже и силата на опън $T_2$ на спомагателното въже. [2 т.]

в) Тялото се отвързва от спомагателното въже. Колко е силата на опън $T_3$ на носещото въже в този момент? [1 т.]

г) С каква скорост $v$ тялото преминава през най-ниската точка от траекторията си? [2 т.]

д) Нека $l = const$ , а $d$ може да се мени. При каква стойност на отношението $d/l$ , скоростта $v$ ще е максимална? Изчислете максималната скорост при $l = 40\ \mathrm{m}$ ? $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ [2 т.]

е) След време тялото извършва малки трептения около най-ниската точка от траекторията си. Какъв е периодът $T_0$ на тези трептения? Изчислете стойността му при условията от подточка д) [2 т.]

Отговори

Решение

Задача 1. Алпийски тролей.

Елипса с център O, полуоси a и b, фокуси F₁ и F₂, точки A и B; отсечки F₁B и F₂B, означение d/2.

Тялото в точка C под точката на окачване F₂: сили на опън T₁ по двете части на въжето, T₂ хоризонтално, тежест mg; ъгъл α при F₁.

а) Нека $a$ е хоризонталната полуос на елипсата, а $b$ – вертикалната. От чертежа се вижда, че $F_2A + AF_1 = l = 2a$ , следователно $a = l/2$ . (1.1) [0.5 т.] От триъгълника $OBF_2$ следва, че $\left(\frac{d}{2}\right)^2 + b^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2$ , откъдето $b = \frac{\sqrt{l^2 - d^2}}{2}$ (1.2). [0.5 т.]

б) Тъй като тялото е в покой, сумата от действащите му сили е нула. Следователно $mg = T_1(1 + \sin\alpha)$ [0.25 т.] и $T_2 = T_1\cos\alpha$ . [0.25 т.] Нека бележим дължината на $CF_2$ с $l_2$ . Тогава $\sin\alpha = l_2/l - l_2$ [0.25 т.] (1.3). От уравнението на елипсата следва $\left(\frac{d/2}{a}\right)^2 + \left(\frac{l_2}{b}\right)^2 = 1$ (1.4). [0.25 т.] След заместването на $a$ и $b$ с изразите им от (1.1) и (1.2), (1.4) се преобразува до $l_2 = \frac{l^2 - d^2}{2l}$ (1.5). Замествайки (1.5) в (1.3), $\sin\alpha = \frac{l^2 - d^2}{l^2 + d^2}$ . Така $T_1 = \frac{mg}{2}\left[1 + \left(\frac{d}{l}\right)^2\right]$ [0.5 т.], а $T_2 = mg\,\frac{d}{l}$ . [0.5 т.]

Елипса с полуоси a и b и фокуси F₁ и F₂; точка на траекторията (подточка в) със сили на опън T₃, тежест mg, нормала и ъгъл β.

в) След отвързването на спомагателното въже, скоростта на тялото все още е нула. Следователно тялото започва да се движи с тангенциално към траекторията ускорение. Следователно сумата от проекциите на действащите сили върху нормалата е нула. Използвайки „оптичното“ свойство на елипсата следва, че и двете сили на опън $T_3$ сключват един и същи ъгъл $\beta$ с нормалата.

Следователно $2T_3\cos\beta = mg\cos\beta$ , или $T_3 = mg/2$ . [1 т.]

г) Прилагайки закона за запазване на механичната енергия за началната точка и за най-ниската точка от траекторията, получаваме $mg(b - l_2) = mv^2/2$ . (1.6) [0.5 т.] Замествайки (1.2) и (1.5) в (1.6), $v = \sqrt{2g(b - l_2)} = \sqrt{gl}\,\sqrt{\sqrt{1 - \left(\frac{d}{l}\right)^2} + \left(\frac{d}{l}\right)^2 - 1}$ . [1.5 т.]

д) Замествайки отношението $(d/l)^2$ със $z$ , търсим максимум на функцията $f(z) = \sqrt{\sqrt{1 - z} + z - 1}$ . [0.5 т.] Нейната първа производна се нулира за $z = 3/4$ . [0.5 т.] Следователно търсеното отношение е $d/l = \sqrt{3}/2$ [0.5 т.] За максималната скорост се получава $v = 10\ \mathrm{m/s}$ . [0.5 т.]

е) Нека представим потенциалната енергия на тялото около най-ниската точка от траекторията: $E_p = mgy = mg\left(-b + \frac{1}{2}\,\frac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{x=0} x^2\right) = mg\left(-b + \frac{1}{2}\,\frac{b}{a^2}\,x^2\right)$ . [0.5 т.] Тъй като кинетичната енергия е $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ , то периодът на трептене е $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{mgb/a^2}} = 2\pi\sqrt{\frac{a^2}{bg}}$ . Използвайки (1.1) и (1.2) $T_0 = 2\pi\,\frac{l}{\sqrt{2g}\,\sqrt[4]{l^2 - d^2}} = \pi\sqrt{\frac{2l}{g}}\,\frac{1}{\sqrt[4]{1 - \left(\frac{d}{l}\right)^2}}$ . [1 т.] При условията от подточка д), $T_0 = 4\pi \approx 12{,}6\ \mathrm{s}$ [0.5 т.]

Полезна математика

1. Елипсата е такава крива, че сумата от разстоянията от произволна точка на елипсата до две точки, наречени фокуси на елипсата, е константа. В декартова координатна система с начало в центъра на елипсата и оси, ориентирани по осите на симетрия на елипсата, уравнението на елипсата е $\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1$ , където a и b са двете полуоси на елипсата. Интересно “оптично” свойство на елипсата е, че лъч, тръгнал от единия фокус, след “отражение” от елипсата минава през другия фокус на елипсата.

2. Равенството $A\sin x + B\cos x = 0$ е тъждество за всяко x тогава и само тогава, когато $A \equiv 0 \wedge B \equiv 0$ .

3. Радиус ρ на кривината на крива, описвана с уравнението $y(x)$ в точка от кривата с координати $(x_0, y(x_0))$ , е $\rho = \left.\frac{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}{\left|\frac{d^2y}{dx^2}\right|}\right|_{x=x_0}$ . 4. $(1+x)^n \approx 1 + nx,\ x \ll 1$ .

5. $\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$ , $\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$ , $\cos\alpha = \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)$ .

6. $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$ , $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ .

7. $\frac{d}{dx}\left(e^{ax}\right) = ae^{ax}$ , $\frac{d}{dx}[\cos(ax)] = -a\sin(ax)$ , $\frac{d}{dx}[\sin(ax)] = a\cos(ax)$ .

8. $\frac{d}{dx}[f(x).g(x)] = \left[\frac{d}{dx}f(x)\right].g(x) + f(x).\left[\frac{d}{dx}g(x)\right]$ . 9. $\sin\alpha \approx \tan\alpha \approx \alpha,\ \cos\alpha \approx 1,\ \alpha \ll 1$ .

Оригинал в Архива: proletni_2013_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2013_STsolutions.pdf