Съдържание

НПСФ 2014, 10. клас — Задача 2. Светлинни лъчи

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2014

Национално пролетно състезание по физика 2014, тема за 10. клас · 15 март 2014 г. · 10 т.

Условие

Светлинен лъч е насочен перпендикулярно на основата на стъклено полукълбо с радиус $r = 2$ cm и пада под ъгъл $\alpha$ върху сферичната му повърхност (фиг. 4). Показателят на пречупване на стъклото е $n = \sqrt{2}$ . Кълбото е във въздуха ( $n_\mathrm{в} = 1$ ). Постройте по-нататъшния ход на лъча, като аргументирате и подкрепите с доказателства построението. Разгледайте три случая:

Стъклено полукълбо с плоска страна отляво и сферична повърхност отдясно. Хоризонтален светлинен лъч влиза перпендикулярно през плоската основа и пада върху сферичната повърхност под ъгъл α спрямо радиуса r, прекаран от центъра О. — Фиг. 4.

А) $\alpha < 45^\circ$ [2 т.]

Б) $\alpha = 45^\circ$ [1 т.]

В) $\alpha > 45^\circ$

Успореден сноп лъчи пада перпендикулярно на плоската основа на същото полукълбо. На разстояние L от центъра О, вдясно от полукълбото, е поставен екран Е. — Фиг. 5.

Забележка: В подусловия А) и Б) не се разглежда отражението. [3 т.]

Г) Перпендикулярно на основата на същото стъклено полукълбо пада успореден сноп от лъчи (фиг. 5). Определете радиуса $R$ на светлото петно, което ще се наблюдава върху екрана Е, разположен на разстояние $L = 5$ cm от центъра О на кълбото (фиг. 5). [4 т.]

Отговори

Решение

А) От равенството $\sin\alpha_\mathrm{гр} = \dfrac{1}{n}$ определяме граничния ъгъл на пълно вътрешно отражение: $\alpha_\mathrm{гр} = 45^\circ$ ……………………………………………………………………….. 1 точка

При $\alpha < \alpha_\mathrm{гр}$ , т.е. при $\alpha < 45^\circ$ , лъчът се пречупва от сферичната повърхност и напуска кълбото (фиг. 2) ………………………………………………...………………… 1 точка

Б) При $\alpha = \alpha_\mathrm{гр} = 45^\circ$ лъчът се плъзга по сферичната повърхност (фиг. 2) …...…… 1 точка

В) При $\alpha > \alpha_\mathrm{гр}$ ( $\alpha > 45^\circ$ ) лъчът претърпява неколкократно (многократно) пълно вътрешно отражение от сферичната повърхност, пречупва се от плоската повърхност на полусферата и я напуска (фиг. 3)………………………………………………….………………………………1 точка

Всички ъгли на падане и отражение от сферичната повърхност са равни на $\alpha$ … 0,5 точки

Построение за α < 45°: лъчите, падащи върху сферичната повърхност под ъгъл, по-малък от граничния, се пречупват и напускат полукълбото; показан е и лъчът, падащ точно под 45°, който се плъзга по повърхността. — Фиг. 2.

Построение за α > 45°: лъчът претърпява многократно пълно вътрешно отражение от сферичната повърхност (всички ъгли на падане и отражение са равни на α), след което пада върху плоската основа под ъгъл γ = 90° − β и я напуска. — Фиг. 3.

Построение за радиуса на светлото петно: лъчът, падащ под граничния ъгъл 45°, се плъзга по сферичната повърхност, пресича оста в точка M на разстояние OM = r√2 от центъра и достига екрана в точка N; R = NO₁ = MO₁ = L − r√2. — Фиг. 4.

Броят на отраженията е $k = 1 +$ цялата част на числото $\dfrac{90^\circ + \alpha}{180^\circ - 2\alpha}$ …………………..0,5 точки

Лъчът пада върху плоската повърхност на полукълбото под ъгъл $\gamma$ . От чертежа се вижда (фиг. 3), че $\beta > \alpha > 45^\circ$ . Следователно $\gamma = 90^\circ - \beta < 45^\circ$ , т.е. ъгълът на падане е по-малък от граничния ъгъл. Затова лъчът напуска полукълбото …………………………………………………. 1 точка

Г) Поради пълното вътрешно отражение от полукълбото ще излязат само лъчите, които падат върху сферичната му повърхност под ъгъл $\alpha < \alpha_\mathrm{гр} = 45^\circ$ ………………………………1 точка

Радиусът на светлото петно се определя от лъча, падащ под граничния ъгъл

$\alpha = \alpha_\mathrm{гр} = 45^\circ$ (фиг. 4) ……………………………………………………………………1 точка

От чертежа на фиг. 4 определяме:

OM = r\sqrt{2}; \qquad R = NO_1 = MO_1 = L - r\sqrt{2} \approx 2{,}2\ \mathrm{cm}

……………………………………… 2 точки

Оригинал в Архива: proletni_2014_10problems.pdf · официални решения: proletni_2014_10solutions.pdf