Съдържание

НПСФ 2014, 10. клас — Задача 3. Интерференция от два процепа

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2014

Национално пролетно състезание по физика 2014, тема за 10. клас · 15 март 2014 г. · 10 т.

Условие

Монохроматична светлина с дължина на вълна $\lambda$ пада перпендикулярно върху екран с два тесни успоредни процепа $S_1$ и $S_2$ , разположени на разстояние $d$ един от друг. Върху отдалечен екран, поставен на разстояние $L$ от процепите ( $L \gg d$ ), се наблюдава интерференчна картина (фиг. 6).

А) Докажете, че за точка, която се намира на разстояние $y \ll L$ от центъра О на екрана, разликата в ходовете $\Delta r$ на лъчите от двата процепа е приблизително равна на $\Delta r = r_2 - r_1 \approx \dfrac{d}{L}y$ .

Схема на опита с два процепа: светлина с дължина на вълната λ пада върху непрозрачен екран с процепи S₁ и S₂, отстоящи на d/2 от оста нагоре и надолу. Лъчите r₁ и r₂ достигат точка P върху отдалечения екран Е, на разстояние y над центъра О; разстоянието между процепите и екрана е L. — Фиг. 6.

Полезна формула: $\sqrt{1+x} \approx 1 + \dfrac{x}{2}$ при $x \ll 1$ . [2 т.]

Б) Приемете, че за интерференчната картина близо до центъра на екрана ( $y \ll L$ ) разликата в ходовете на интерфериращите вълни е $\Delta r = r_2 - r_1 = \dfrac{d}{L}y$ и получете израз за разстоянията $y$ от центъра О на екрана, на които ще се наблюдават интерференчни максимуми (светли ивици) и интерференчни минимуми (тъмни ивици). [2 т.]

В) Нека $L = 4$ m и $d = 0{,}2$ mm.

Колко нанометра е дължината на вълната $\lambda$ на светлината, ако интерференен максимум от четвърти порядък ( $m = 4$ ) се наблюдава на разстояние $y = 4$ cm от центъра на екрана? [2 т.]

Г) Определете разстоянието $\Delta y$ между два съседни максимума и коментирайте резултата. [2 т.]

Д) Перпендикулярно на двата процепа пада светлина, която е смес от две мононохроматични вълни с дължини на вълната $\lambda_1 = 550$ nm и $\lambda_2 = 450$ nm. Всяка вълна създава върху екрана своя интерференчна картина. На какво най-малко разстояние $y$ от центъра на екрана се намира светла ивица от едната интерференчна картина, която съвпада с цветна ивица от втората интерференчна картина? Аргументирайте коректността на получения резултат. [2 т.]

Отговори

Решение

А) От двата правоъгълни триъгълника на фиг. 5 изразяваме разстоянията $r_1$ и $r_2$ :

r_1 = \sqrt{L^2 + (y - d/2)^2} \approx L\!\left(1 + \frac{(y - d/2)^2}{2L^2}\right);

Същата схема с двата процепа S₁ и S₂ и правоъгълните триъгълници, от които се изразяват разстоянията r₁ и r₂ до точката P на екрана. — Фиг. 5.

r_2 = \sqrt{L^2 + (y + d/2)^2} \approx L\!\left(1 + \frac{(y + d/2)^2}{2L^2}\right).

…………………….……….. 1 точка

Разликата в ходовете на двете вълни е

\Delta r = r_2 - r_1 \approx L + \frac{(y + d/2)^2}{2L} - \left(L + \frac{(y - d/2)^2}{2L}\right) = \frac{d}{L}y

……………………………1 точка

Б) $\Delta r = r_2 - r_1 = \dfrac{d}{L}y = m\lambda$ ( $m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ ) – условие за максимум .…….…… 1 точка

$\Delta r = r_2 - r_1 = \dfrac{d}{L}y = \left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda$ ( $m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ ) – условие за минимум ………… 1 точка

В) $\lambda = \dfrac{d}{mL}y$ ……………………………………………………………………….. 1 точка

$\lambda = 500$ nm ………………………………………………………………………. 1 точка

Г) $\Delta y = y_{m+1} - y_m = (m + 1)\dfrac{\lambda L}{d} - m\dfrac{\lambda L}{d} = \dfrac{\lambda L}{d} = 1$ cm …………………………….….. 1 точка

Разстоянието между светлите ивици не зависи от $y$ , т.е. в централната част на екрана интерференчните ивици са разположени на еднакви разстояния една от друга .………0,5 точки

Разстоянието между ивиците нараства, ако намаляваме разстоянието $d$ между процепите или ако отдалечаваме екрана (увеличаваме $L$ )……………………………………….0,5 точки

Д) От условието за максимум изразяваме разстоянията $y$ , на които са разположени светлите ивици на двете интерференчни картини:

y_{m_1} = \frac{m_1\lambda_1 L}{d}; \quad y_{m_2} = \frac{m_2\lambda_2 L}{d}.

За съвпадащите ивици $\dfrac{m_1\lambda_1 L}{d} = \dfrac{m_2\lambda_2 L}{d}$ , откъдето получаваме

\frac{m_2}{m_1} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{550\ \mathrm{nm}}{450\ \mathrm{nm}} = \frac{11}{9}

……………..…………………………………………….. 0,5 точки

Първите съвпадащи ивици на двете картини са разположени от центъра на екрана на разстояние

y_{m_1 = 9} = \frac{9\lambda_1 L}{d} = 9{,}9\ \mathrm{cm}

…………………………………………………… 1 точка

Тъй като $y_9 \ll L$ , можем да използваме направеното в началото приближение за разликата в оптичните ходове на вълните от двата процепа, отнасящо се само за централната част от екрана……………………………………………………………………………..0,5 точки

Оригинал в Архива: proletni_2014_10problems.pdf · официални решения: proletni_2014_10solutions.pdf