Съдържание

НПСФ 2014, 11–12 клас — Задача 3. Протон в магнитно поле

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2014

Национално пролетно състезание по физика 2014, тема за 11. – 12. клас · 15 март 2014 г. · 10 т.

Условие

Координатна система с граница по оста x; в горната област полето B1 е насочено извън равнината, а в долната област полето B2 е насочено навътре. — Фиг. 3. Протонът тръгва от началото на координатната система със скорост $v$ по оста $y$ ; полето $B_1$ е насочено към наблюдателя, а $B_2$ — от наблюдателя.

Протон с маса $m = 1{,}67\times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$ и заряд $e = 1{,}6\times 10^{-19}\ \mathrm{C}$ се намира първоначално на границата между две области, в които има постоянни магнитни полета с противоположни посоки, както е показано на фиг. 3. Големините на магнитните индукции на полетата са $B_1 = 10\ \mathrm{mT}$ и $B_2 = 15\ \mathrm{mT}$ . Протонът има скорост $v = 10\ \mathrm{km/s}$ , насочена перпендикулярно на границата.

а) Начертайте траекторията на протона в двете области. [2 т.]

б) Определете координатите $x_1$ и $x_2$ на първите две пресечни точки на протона с границата. [3 т.]

в) Намерете средната скорост $\bar{v}_x$ на протона по $x$ -направлението. [3 т.]

г) Нека магнитното поле в долната област да бъде със същата посока като в горната област. Каква ще бъде големината на средната скорост $\bar{v}'_x$ на протона по $x$ -направлението в този случай? [2 т.]

Отговори

Решение

Траектория на протон от последователни полуокръжности над и под границата между двете области, с отбелязани точки x1 и x2. — Фиг. 3 от решението: траекторията на протона — полуокръжности с радиус $R_1$ над границата и $R_2$ под нея, с пресечни точки $x_1$ и $x_2$ .

а) Траекторията на протона е изобразена на фиг. 3. [1 т.] Протонът се движи по полуокръжности с различни радиуси. [1 т.]

б) Непосредствено след началния момент протонът ще се движи по окръжност в горната област, като дължината на радиуса на окръжността $R_1$ следва от факта, че магнитната сила изпълнява ролята на центростремителна сила. [0,5 т.] Така $evB_1 = mv^2/R_1$ . [0,5 т.] Получава се, че $x_1 = 2R_1 = \frac{2mv}{eB_1} = 2{,}1\ \mathrm{cm}$ . [1 т.] След това протонът навлиза в долната област с непроменена големина на скоростта, перпендикулярна на границата, и отново описва полуокръжност с радиус $R_2 = \frac{mv}{eB_2}$ . Координатата на втората пресечна точка е $x_2 = x_1 + 2R_2 = \frac{2mv}{e}\left(\frac{1}{B_1}+\frac{1}{B_2}\right) = 3{,}5\ \mathrm{cm}$ . [1 т.]

в) Лесно се вижда, че протонът извършва периодично движение, от което следва, че търсената средна скорост е равна на средната скорост за един период. [1 т.] Т.е. $\bar{v}_x = x_2\Big/\left(\frac{\pi}{\omega_1}+\frac{\pi}{\omega_2}\right)$ , където $\omega_1 = eB_1/m$ и $\omega_2 = eB_2/m$ са съответните ъглови скорости на протона в двете области. [1 т.] След опростяване се получава, че $\bar{v}_x = \frac{2v}{\pi} = 6{,}4\ \mathrm{km/s}$ . [1 т.]

г) В този случай в долната област протонът ще се движи наляво по $x$ . [1 т.] Затова големината на средната скорост ще бъде $\bar{v}'_x = \frac{2mv}{e}\left(\frac{1}{B_1}-\frac{1}{B_2}\right)\Big/\left(\frac{\pi}{\omega_1}+\frac{\pi}{\omega_2}\right) = \frac{2(B_2-B_1)v}{\pi(B_1+B_2)} = 1{,}3\ \mathrm{km/s}$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2014_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2014_11-12solutions.pdf